8 класс · Площадь

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

💡 Из жизни: строитель хочет проверить прямой ли угол в углу фундамента. Он откладывает 3 метра по одной стене, 4 метра по другой и натягивает верёвку между концами. Если она равна ровно 5 метрам — угол прямой. Этим приёмом египтяне пользовались ещё 3000 лет назад, и такой треугольник — со сторонами 3, 4 и 5 — называют «египетским».

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, можно установить замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Эта теорема — важнейшая теорема геометрии, и называют её в честь древнегреческого учёного Пифагора.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $$c^2 = a^2 + b^2$$ где $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.

Справа — интерактивная фигура: прямоугольный треугольник с квадратами на каждой стороне (блок «Квадраты на сторонах»). Перетащи вершины $A$ или $B$ — площади синего и зелёного квадратов пересчитаются в реальном времени, и их сумма всегда останется равна площади жёлтого квадрата на гипотенузе.

Доказательство — метод «квадрат со стороной $(a+b)$»

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$. Достроим его до квадрата со стороной $a+b$ (блок «Доказательство») и подсчитаем площадь этого квадрата двумя способами.

Хотя теорема связана с именем Пифагора (VI в. до н. э.), само соотношение между сторонами прямоугольного треугольника было известно ещё вавилонянам за 1200 лет до него — вероятно, найденное на опыте, без доказательства. С тех пор найдено более ста разных доказательств этой теоремы.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Обратная теорема. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 \;\Rightarrow\; \angle C = 90°$$

Смотри в блоке «Обратная теорема» справа построение вспомогательного прямоугольного треугольника $A_1B_1C_1$, с помощью которого доказывается эта теорема.

Доказательство

Пусть в треугольнике $ABC$ выполняется $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Докажем, что угол $C$ прямой.

По обратной теореме треугольник со сторонами 3, 4 и 5 прямоугольный: $5^2 = 3^2 + 4^2$. Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13; 8, 15, 17 и 7, 24, 25.

Прямоугольные треугольники, у которых длины всех сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками:

$a$$b$$c$Проверка
345$9 + 16 = 25$ ✓
51213$25 + 144 = 169$ ✓
81517$64 + 225 = 289$ ✓
72425$49 + 576 = 625$ ✓
6810$36 + 64 = 100$ ✓

Общая формула: $a = 2kmn$, $b = k(m^2-n^2)$, $c = k(m^2+n^2)$, где $m > n$ — любые натуральные числа, $k$ — натуральное число. Треугольник 3–4–5 часто называют египетским — древние египтяне строили прямой угол верёвкой с 12 узлами, делящими её на части 3, 4 и 5.

Пример

1
Найти гипотенузу по катетам $a = 6$, $b = 8$: $c = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10$.
2
Выяснить, прямоугольный ли треугольник со сторонами 9, 12, 15: $15^2 = 225$, а $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. Равны — треугольник прямоугольный.
3
Выяснить, прямоугольный ли треугольник со сторонами 5, 6, 7: $7^2 = 49$, а $5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \ne 49$. Треугольник не прямоугольный.
⚠️ Частая ошибка: применять $c^2 = a^2 + b^2$ к любому треугольнику, а не только к прямоугольному. Формула работает исключительно при наличии прямого угла — иначе подставлять «просто самую длинную сторону» вместо гипотенузы нельзя.
🧠 Запомни: гипотенуза — сторона напротив прямого угла, всегда самая длинная сторона треугольника. $c^2 = a^2 + b^2$ — квадрат гипотенузы, а не сумма самих сторон. Обратная теорема позволяет проверять прямой угол по длинам сторон — именно этим пользовались египтяне.

Закрепи в практике

3 тренажёра по этому параграфу. Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

1 Теорема Пифагора разминка · практика · модель · разбор 2 Теорема, обратная теореме Пифагора разминка · практика · модель · разбор 3 Формула Герона разминка · практика · разбор