Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катет $BC$ лежит против угла $A$ (противолежащий катет), а катет $AC$ примыкает к углу $A$ (прилежащий катет).
Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Для треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ (см. чертёж справа):
$$\sin A = \frac{BC}{AB}, \qquad \cos A = \frac{AC}{AB}, \qquad \tan A = \frac{BC}{AC}.$$Переключись на вкладку «Синус/косинус/тангенс» и потяни вершины $A$ и $B$ — синий треугольник меняет форму, а рядом стоит оранжевый треугольник $A_1B_1C_1$ с тем же острым углом при $A_1$, только другого размера (ползунок $k$ меняет его масштаб). Значения $\sin A$, $\cos A$, $\tan A$ у обоих треугольников совпадают — размер треугольника не влияет на эти отношения, важен только сам угол.
Из формул синуса и косинуса сразу следует:
$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$— тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
Доказательство: sin, cos, tg зависят только от угла
Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то их синусы равны, косинусы равны и тангенсы равны.
Основное тригонометрическое тождество
На вкладке «Тождество» полоска внизу всегда делится на две части — синюю ($\sin^2 A$) и зелёную ($\cos^2 A$) — так, что вместе они заполняют её ровно целиком, какой бы угол $A$ ни был выбран.
Доказательство тождества
Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°
На вкладке «Углы 30°, 45°, 60°» кнопки сразу выставляют треугольник в нужную форму.
Углы 30° и 60°
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, где $\angle A = 30°$, $\angle B = 60°$.
Вывод значений для 30° и 60°
Угол 45°
Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, где $AC = BC$ и $\angle A = \angle B = 45°$.
Вывод значения для 45°
Таблица значений:
| $\alpha$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ |
|---|---|---|---|
| $\sin \alpha$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos \alpha$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\tan \alpha$ | $\dfrac{\sqrt3}{3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
Пример
В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$: $BC = 8$, $AB = 17$. Найдите синус, косинус и тангенс углов $A$ и $B$.
Тогда $\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{8}{17}$, $\cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{15}{17}$, $\tan A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{8}{15}$.
Так как $\angle B = 90° - \angle A$, катет $AC$ противолежит $B$, а $BC$ прилежит к нему: $\sin B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{15}{17} = \cos A$, $\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{8}{17} = \sin A$, $\tan B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{15}{8}$.
- $\sin A = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, $\cos A = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, $\tan A = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$.
- $\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A}$.
- $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ для любого острого угла $A$.
- Синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла, а не от размера треугольника.
- $\sin 30° = \cos 60° = \dfrac12$, $\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin 60° = \cos 30° = \dfrac{\sqrt3}{2}$, $\tan 45° = 1$.