10 класс · Введение

Введение. Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии и следствия из них

Что изучает стереометрия

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия — раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» — объёмный, пространственный, и «метрео» — измерять.

Определение. Простейшими, основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. Наряду с ними в стереометрии рассматривают геометрические тела и их поверхности.

Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Кристаллы имеют форму тел, поверхности которых составлены из многоугольников — такие поверхности называются многогранниками (простейший пример — куб). Капля жидкости в невесомости или футбольный мяч принимают форму шара. Консервная банка имеет форму цилиндра.

В отличие от реальных предметов геометрические тела — воображаемые объекты. Геометрическое тело представляют как часть пространства, отделённую от остальной части пространства поверхностью — границей этого тела. Например, граница шара — сфера, а граница цилиндра состоит из двух кругов (оснований) и боковой поверхности.

💡 Практическое значение: изучая свойства геометрических фигур, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (форме, взаимном расположении) и используем эти знания на практике. Стереометрия широко применяется в строительстве, архитектуре, машиностроении, геодезии.

Основные фигуры и обозначения

В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается ещё одна основная фигура — плоскость. Представление о плоскости даёт гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

Обозначения:

  • точки — прописные латинские буквы: $A, B, C$...
  • прямые — строчные латинские буквы $a, b, c$... или парой точек: $AB$, $CD$...
  • плоскости — греческие буквы: $\alpha, \beta, \gamma$...

Принадлежность точки плоскости записывают так: $A \in \beta$ (точка $A$ лежит в плоскости $\beta$), $M \notin \beta$ (точка $M$ не лежит в плоскости $\beta$).

Аксиомы стереометрии

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Ниже сформулированы три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве — А1, А2, А3.

А1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Плоскость, проходящую через точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью $ABC$. Отметим: если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость — четыре точки могут не лежать в одной плоскости.

А2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости, или плоскость проходит через прямую. Из аксиомы А2 следует: если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, говорят, что они пересекаются.

А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

💡 Из жизни: если у стула ножки неодинаковы по длине, то стул стоит на трёх ножках — опирается на три точки (аксиома А1), а конец четвёртой ножки не лежит в плоскости пола и «висит» в воздухе. Свойство аксиомы А2 используют для проверки «ровности» чертёжной линейки: если её край ровный, он всеми точками прилегает к поверхности стола. Пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты — наглядная иллюстрация аксиомы А3.

В пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии. Признаки равенства и подобия треугольников, известные из планиметрии, справедливы и для треугольников, расположенных в разных плоскостях.

Следствия из аксиом

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

1
Рассмотрим прямую $a$ и не лежащую на ней точку $M$. Отметим на прямой $a$ две точки $P$ и $Q$.
2
Точки $M$, $P$ и $Q$ не лежат на одной прямой, поэтому согласно аксиоме А1 через них проходит некоторая плоскость $\alpha$, и притом только одна.
3
Так как две точки прямой $a$ ($P$ и $Q$) лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме А2 плоскость $\alpha$ проходит через всю прямую $a$.
4
Итак, плоскость $\alpha$ проходит и через прямую $a$, и через точку $M$.
5
Единственность. Любая плоскость, проходящая через прямую $a$ и точку $M$, проходит и через точки $M$, $P$, $Q$. А через эти три точки, не лежащие на одной прямой, по аксиоме А1 проходит только одна плоскость — значит, эта плоскость совпадает с $\alpha$. Теорема доказана.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

1
Рассмотрим прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $M$. Отметим на прямой $b$ точку $N$, отличную от $M$.
2
Точка $N$ не лежит на прямой $a$ (прямые $a$ и $b$ пересекаются только в точке $M$), поэтому по доказанной теореме 1 через прямую $a$ и точку $N$ проходит плоскость $\alpha$, и притом только одна.
3
Так как две точки прямой $b$ ($M$ и $N$) лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме А2 плоскость $\alpha$ проходит через всю прямую $b$.
4
Значит, плоскость $\alpha$ проходит через обе прямые — $a$ и $b$.
5
Единственность. Любая плоскость, проходящая через $a$ и $b$, проходит через прямую $a$ и точку $N$ — а такая плоскость единственна (теорема 1). Значит, она совпадает с $\alpha$. Теорема доказана.
⚠️ Частая ошибка: в аксиоме А1 забывают условие «не лежащие на одной прямой» и говорят «через любые три точки проходит единственная плоскость». Это неверно: через три точки, лежащие на одной прямой, проходит не одна, а бесконечно много плоскостей (прямую можно «повернуть» вокруг себя как ось). Условие некомпланарности точек в аксиоме — обязательное.
🧠 Запомни:
  • Стереометрия изучает фигуры в пространстве; основные фигуры — точка, прямая, плоскость.
  • А1: через 3 точки не на одной прямой — ровно одна плоскость.
  • А2: если 2 точки прямой лежат в плоскости — вся прямая лежит в этой плоскости.
  • А3: если 2 плоскости имеют общую точку — они пересекаются по прямой.
  • Следствия: через прямую и точку вне неё — ровно одна плоскость; через две пересекающиеся прямые — ровно одна плоскость.

Закрепи в практике

2 тренажёра по этому параграфу. Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

1 Аксиомы стереометрии разминка · практика · модель · разбор 2 Следствия из аксиом стереометрии разминка · практика · разбор