Эллипс, гипербола и парабола

Эллипс

Эллипс можно построить буквально верёвкой: закрепи оба конца ненатянутой нити в двух точках и, натягивая её остриём карандаша, прочерти линию — получится эллипс. Отсюда естественное определение.

Пусть $2c$ — расстояние между фокусами $F_1(-c;0)$ и $F_2(c;0)$, а $2a$ — та самая постоянная сумма расстояний. Тогда для точки $M(x;y)$ эллипса выполняется $$MF_1+MF_2=2a.$$ По неравенству треугольника $MF_1+MF_2\ge F_1F_2$, поэтому всегда $a\ge c$; при $a=c$ эллипс вырождается в отрезок $F_1F_2$, значит содержательный случай — это $a>c$.

Свойства эллипса. Эллипс симметричен относительно начала координат и обеих осей; целиком лежит в прямоугольнике $|x|\le a$, $|y|\le b$. Отношение $e=\dfrac{c}{a}$ (всегда $e<1$) называют эксцентриситетом — он показывает, насколько эллипс «вытянут»: при $e\to0$ эллипс приближается к окружности, при $e\to1$ — сплющивается в отрезок. Каждому фокусу отвечает своя директриса — прямая $x=\pm\dfrac{a}{e}$: отношение расстояния от точки эллипса до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы всегда равно $e$.

Гипербола

Что получится, если в определении эллипса заменить сумму расстояний до фокусов на модуль их разности? Новая кривая — гипербола.

При тех же обозначениях ($2c$ — расстояние между фокусами $F_1$, $F_2$, $2a$ — постоянная разность) условие для точки $M(x;y)$ записывается как $$|MF_1-MF_2|=2a,$$ причём теперь, наоборот, $a \lt c$ (при $a=c$ гипербола вырождается в два луча). Совершенно аналогичными выкладками (только с $b^2=c^2-a^2$ вместо $a^2-c^2$) получается каноническое уравнение гиперболы: $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Свойства. Ось, на которой лежат фокусы, называется вещественной осью, перпендикулярная ей — мнимой осью; $a$ и $b$ — вещественная и мнимая полуоси. У гиперболы две ветви — в полосе $|x| \lt a$ точек кривой нет. При удалении от центра ветви неограниченно приближаются к двум прямым $y=\dfrac{b}{a}x$ и $y=-\dfrac{b}{a}x$ — их называют асимптотами. Эксцентриситет $e=\dfrac{c}{a}$ у гиперболы всегда больше единицы; директрисы задаются тем же уравнением $x=\pm\dfrac{a}{e}$, но лежат теперь между центром и ветвями, а не за ними, как у эллипса.

Парабола

У эллипса отношение (расстояние до фокуса) / (расстояние до директрисы) меньше $1$, у гиперболы — больше $1$. А что получится, если это отношение равно ровно $1$?

Пусть $p$ — расстояние от фокуса $F$ до директрисы. Разместим систему координат так, что $F\left(\dfrac{p}{2};0\right)$, а директриса задана уравнением $x=-\dfrac{p}{2}$. Тогда для точки $M(x;y)$ условие $MF=\rho(M,\text{директриса})$ после возведения в квадрат даёт каноническое уравнение параболы: $$y^2=2px.$$

Свойства. Парабола симметрична только относительно одной оси — оси $Ox$ (ось параболы), точка пересечения с ней — вершина. Так как $x=\dfrac{y^2}{2p}\ge0$, вся кривая лежит в полуплоскости $x\ge0$. В отличие от эллипса и гиперболы, у параболы только один фокус и одна директриса — «второй половины» просто нет, кривая уходит в бесконечность только в одну сторону.

Единый взгляд: эксцентриситет

Все три кривые — на самом деле одна и та же конструкция «фокус + директриса», только с разным значением эксцентриситета $e$ = (расстояние до фокуса) / (расстояние до директрисы):

• $e<1$ — эллипс (сумма расстояний до двух фокусов постоянна);
• $e=1$ — парабола (расстояние до фокуса = расстояние до директрисы, второй фокус «уходит на бесконечность»);
• $e>1$ — гипербола (модуль разности расстояний до двух фокусов постоянен).

Любая прямая пересекает каждую из этих трёх кривых не более чем в двух точках — это следует из того, что подстановка уравнения прямой в каноническое уравнение всякий раз даёт квадратное (не выше второй степени) уравнение.