9 класс · Движения
Параллельный перенос и поворот
Параллельный перенос
💡 Из жизни: представь, что вся плоскость — это прозрачная плёнка, и ты сдвигаешь её
целиком в одном направлении на одно и то же расстояние, не поворачивая и не переворачивая. Каждая точка
плёнки съезжает по одному и тому же вектору — вот это и есть параллельный перенос. Попробуй на вкладке
«Параллельный перенос» справа: тяни концы вектора
$a$ — вся фигура $MN$ сдвигается вслед за ним.
Определение. Пусть $a$ — данный вектор. Параллельным переносом на вектор $a$
называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ отображается в такую точку $M_1$,
что вектор $\overrightarrow{MM_1}$ равен вектору $a$.
Наглядно параллельный перенос можно представить как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора $a$ на его длину.
Докажем, что параллельный перенос — движение.
Теорема. Параллельный перенос является движением, т. е. отображением плоскости на себя,
сохраняющим расстояния.
Поворот
💡 Из жизни: представь стрелку часов, закреплённую в центре $O$ циферблата: она вращается
вокруг этой неподвижной точки на некоторый угол, но расстояние от центра до кончика стрелки не меняется.
Именно так устроен поворот плоскости. Попробуй на вкладке
«Поворот» справа: тяни центр $O$, точки $M,N$ и меняй угол
$\alpha$ ползунком.
Определение. Отметим на плоскости точку $O$ (центр поворота) и зададим угол
$\alpha$ (угол поворота). Поворотом плоскости вокруг точки $O$ на угол
$\alpha$ называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ отображается в такую точку
$M_1$, что $OM=OM_1$ и угол $MOM_1$ равен $\alpha$. При этом точка $O$ остаётся на месте (отображается сама
в себя), а все остальные точки поворачиваются вокруг $O$ в одном и том же направлении — по часовой стрелке
или против часовой стрелки.
Докажем, что поворот — движение.
Теорема. Поворот является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим
расстояния.
⚠️ Частая ошибка: считать, что центр поворота $O$ обязательно должен лежать внутри
поворачиваемой фигуры. На самом деле центр поворота — это любая фиксированная точка плоскости: она может
быть внутри фигуры, снаружи неё или даже совпадать с одной из её вершин. Единственное особое свойство точки
$O$ — она сама при повороте остаётся на месте (это единственная неподвижная точка поворота, если угол не
кратен $360°$).
🧠 Запомни:
- Параллельный перенос на вектор $a$: каждая точка $M$ переходит в точку $M_1$ такую, что $\overrightarrow{MM_1}=a$ — все точки плоскости сдвигаются на один и тот же вектор.
- Перенос — движение: доказывается через параллелограмм $MM_1N_1N$, откуда $MN=M_1N_1$.
- Поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$: каждая точка $M$ переходит в точку $M_1$ такую, что $OM=OM_1$ и $\angle MOM_1=\alpha$; центр $O$ остаётся на месте.
- Поворот — движение: доказывается через равенство треугольников $OMN$ и $OM_1N_1$ по двум сторонам и углу между ними (SAS), откуда $MN=M_1N_1$.
- И перенос, и поворот, как и осевая/центральная симметрии, — частные виды движений: все они сохраняют расстояния между точками.