11 класс · Объёмы тел
Объёмы прямой призмы и цилиндра
Объём прямой призмы
Теорема. Объём прямой призмы равен
произведению площади основания на
высоту:
$$V = S \cdot h.$$
Доказательство проводится в два шага: сначала для треугольной призмы, а затем — для произвольной прямой призмы (сведением к треугольным).
💡 Из жизни: представь стопку одинаковых картонных многоугольников толщиной
$h$ — сколько бы их ни было и какой бы формы ни была стопка (треугольная, шестиугольная), общий
объём всегда равен площади одного листа, умноженной на высоту стопки.
Призма, вписанная в цилиндр и описанная около него
Определение. Призма вписана в
цилиндр, если её основания вписаны в основания
цилиндра, и призма описана около цилиндра, если её основания описаны около
оснований цилиндра.
Высота любой призмы, вписанной в цилиндр или описанной около него, равна высоте самого цилиндра — это понадобится при доказательстве формулы объёма цилиндра ниже.
Объём цилиндра
Теорема. Объём цилиндра равен
произведению площади основания на высоту:
$$V = \pi r^2 h.$$
💡 Из жизни: объём цилиндра считается так же просто, как объём призмы — площадь
дна (круга) умножить на высоту. Например, объём консервной банки или стакана — это площадь донышка,
умноженная на высоту стенки.
⚠️ Частая ошибка: формулу $V=\pi r^2 h$ для цилиндра путают с формулой объёма
конуса $V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ — у конуса появляется множитель $\dfrac{1}{3}$,
так как он «сужается» к вершине, а у цилиндра сечение одинаковое на любой высоте. Проверяй себя:
если тело имеет одинаковое сечение по всей высоте (призма, цилиндр) — множителя $\frac{1}{3}$ нет,
если тело сужается к вершине (пирамида, конус) — множитель $\frac{1}{3}$ есть.
🧠 Запомни:
$$V_{призмы} = S\cdot h, \qquad V_{цилиндра} = \pi r^2 h = S\cdot h.$$
Обе формулы — «площадь основания умножить на высоту». Единственная разница: у призмы основание —
многоугольник, у цилиндра — круг.