11 класс · Объёмы тел
Объёмы наклонной призмы, пирамиды и конуса
Объём тела через интеграл
Идея. Пусть тело $T$ заключено между двумя параллельными плоскостями, а ось $Ox$
перпендикулярна им; точки пересечения оси с плоскостями — $a$ и $b$. Для каждой точки $x\in[a;b]$
сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через эту точку, имеет площадь $S(x)$.
Тогда объём тела вычисляется по формуле
$$V = \int\limits_a^b S(x)\,dx.$$
Разобьём отрезок $[a;b]$ на много маленьких частей. На каждой такой части тело почти не меняется по толщине, поэтому его объём приближённо равен $S(x_i)\cdot \Delta x_i$ — площадь сечения умножить на маленькую толщину слоя. Сумма объёмов всех слоёв — это интегральная сумма, а при неограниченном измельчении она стремится к интегралу $\int_a^b S(x)\,dx$. Этой формулой мы и выведем все три теоремы ниже.
💡 Из жизни: представь, что тело нарезано на очень тонкие ломтики, как батон
колбасы. Объём каждого ломтика — это его площадь сечения, умноженная на тонкую толщину. Сложив
объёмы всех ломтиков, получаем объём всего тела — это и есть интеграл.
Объём наклонной призмы
Теорема. Объём наклонной призмы равен
произведению площади основания на
высоту:
$$V = S \cdot h.$$
Доказательство проводится в два шага: сначала для треугольной призмы, а затем — для произвольной наклонной призмы (сведением к треугольным).
Замечание. Объём наклонной призмы можно вычислить и иначе: он равен произведению
бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам и
пересекающей их. Коротко: объём наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь
перпендикулярного ему сечения.
💡 Из жизни: представь стопку одинаковых листов картона. Если сдвигать листы друг
относительно друга (как колоду карт, которую «сдвинули» веером), стопка становится наклонной, но
её объём не меняется — ведь количество и толщина листов те же самые. Это и есть принцип Кавальери
в действии — попробуй ползунок «угол наклона» в интерактиве.
⚠️ Частая ошибка: в наклонной призме путают высоту $h$ (перпендикулярное
расстояние между плоскостями оснований) с длиной бокового ребра. Если призма
наклонена, боковое ребро всегда длиннее высоты. В формулу $V=Sh$ нужно подставлять именно высоту,
а не ребро.
Объём пирамиды
Теорема. Объём пирамиды равен одной
трети произведения площади основания на высоту:
$$V = \dfrac{1}{3}\, S \cdot h.$$
Следствие. Объём $V$ усечённой пирамиды высотой $h$ с площадями оснований $S$ и
$S_1$ вычисляется по формуле
$$V=\frac{h}{3}\left(S+S_1+\sqrt{S\,S_1}\right).$$
Усечённая пирамида получается из полной пирамиды отсечением меньшей пирамиды у вершины, поэтому
её объём — это разность объёмов исходной и отсечённой пирамид.
💡 Из жизни: попробуй в интерактиве подвигать ползунок «сечение» у
пирамиды — чем ближе к вершине, тем сечение меньше, а площадь сечения убывает не линейно, а
квадратично (в 2 раза ближе к вершине — площадь в 4 раза меньше).
⚠️ Частая ошибка: забывают множитель $\dfrac13$ и считают объём пирамиды так же,
как объём призмы ($V=Sh$). Также путают высоту пирамиды (перпендикуляр из вершины на плоскость
основания) с длиной бокового ребра или апофемой боковой грани.
Объём конуса
Теорема. Объём конуса равен одной трети
произведения площади основания на высоту:
$$V = \dfrac{1}{3}\, S \cdot h = \dfrac13 \pi R^2 h.$$
Следствие. Объём $V$ усечённого конуса высотой $h$ с площадями оснований $S$ и
$S_1$ вычисляется по той же формуле, что и для усечённой пирамиды:
$$V=\frac{h}{3}\left(S+S_1+\sqrt{S\,S_1}\right).$$
🧠 Запомни:
$$V_{\text{накл. призмы}}=S\cdot h,\qquad V_{\text{пирамиды}}=\frac13 S\cdot h,\qquad
V_{\text{конуса}}=\frac13 S\cdot h=\frac13\pi R^2 h.$$
У «призмоподобных» тел (прямая и наклонная призма, цилиндр) сечение не меняется по высоте —
множителя $\frac13$ нет. У «пирамидоподобных» тел (пирамида, конус) сечение сужается к вершине по
закону $S(x)=(x/h)^2\,S$ — отсюда и множитель $\frac13$ при интегрировании $x^2$.