7 класс · Начальные геометрические сведения

Перпендикулярные прямые

Смежные и вертикальные углы

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями одна другой, называются смежными.

На чертеже углы AOBсиняя дуга справа и BOCзелёная дуга справа — смежные: у них общая сторона OB, а стороны OA и OC вместе образуют прямую (продолжают друг друга). Так как лучи OA и OC образуют развёрнутый угол, то

$\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC = 180°$
📐 Свойство смежных угловСумма смежных углов равна 180°.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Когда две прямые пересекаются в точке O, они образуют сразу две пары вертикальных углов — на нашем чертеже это углы 1синяя дуга и 3синяя дуга (равна углу 1), а также углы 2зелёная дуга и 4зелёная дуга (равна углу 2).

Почему вертикальные углы равны — доказательство

Угол 2 является смежным сразу с обоими соседними углами — и с углом 1, и с углом 3.

Шаг 0 из 3
💡 Из жизнивертикальные углы — это как две пары «крыльев бабочки», которые получаются при пересечении двух прямых линий: ножницы в раскрытом виде, разметка перекрёстка дорог, буква «Х» — везде противоположные (не соседние) углы равны между собой.

Перпендикулярные прямые

Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвёрнутых угла. Углом между пересекающимися прямыми называется величина того из этих четырёх углов, который не превосходит каждого из трёх остальных.

Если один из четырёх углов, образованных пересечением прямых, — прямой (равен 90°), то по свойствам смежных и вертикальных углов остальные три угла тоже прямые: смежный с прямым углом угол равен $180° - 90° = 90°$, а вертикальный с прямым углом угол равен ему самому.

📐 ОпределениеДве пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла. Перпендикулярность прямых AC и BD обозначается так: $AC \perp BD$ (читается: «прямая AC перпендикулярна прямой BD»).

Отметим важный факт: две прямые, перпендикулярные к одной и той же третьей прямой, не пересекаются между собой (доказывается методом «от противного», с помощью мысленного перегибания чертежа — если бы они пересеклись, через две точки прошли бы две разные прямые, что невозможно).

💡 Из жизнипрямой угол и перпендикулярные прямые — повсюду вокруг нас: угол между стеной и полом, пересечение улиц на перекрёстке «крест-накрест», линии разлиновки тетради. Строители используют для построения прямых углов чертёжный угольник и линейку, а землемеры — специальный прибор экер: два бруска, закреплённых под прямым углом на треноге.
⚠️ Частая ошибкасчитать смежными любые два угла «рядом» на чертеже. На самом деле смежные углы обязаны иметь общую сторону, а две другие стороны — лежать на одной прямой (быть продолжением друг друга). Просто соседние углы без этого условия смежными не являются.
🧠 Запомни
  • Сумма смежных углов всегда равна 180°.
  • Вертикальные углы всегда равны.
  • Если один из 4 углов при пересечении прямых прямой — все 4 угла прямые.
  • $AC \perp BD$ — прямые перпендикулярны, если образуют четыре прямых угла.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике