5 класс · Делимость натуральных чисел

Простые и составные числа

Кирпичики и дома

Мы уже умеем находить все делители числа $n$ — множество $D(n)$. А что, если посчитать, сколько делителей у числа? Оказывается, каждое натуральное число делится само на себя и на 1 — это следует из равенства $a = a \cdot 1$. Значит, у любого числа не меньше одного-двух делителей. А вот дальше числа начинают вести себя по-разному.

💡 Из жизни: представь, что натуральные числа — это дома, а простые числа — неделимые кирпичики, из которых путём умножения строятся все остальные, составные дома. Число 12 — «дом», собранный из кирпичиков $2\times2\times3$. А вот единица — вообще не кирпичик и не дом, она стоит особняком.

Определение: простые и составные числа

Натуральные числа, которые имеют ровно два различных делителя — само себя и 1, — называются простыми. Таковы, например, числа 2, 3, 5, 7, 89.
Натуральные числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Составным является, например, число 6: оно имеет 4 делителя — 1, 2, 3 и 6.

Проверь любое число в блоке «Классификация» справа — там сразу видно, сколько у него делителей и к какой группе оно относится.

Особый случай — число 1

Число 1 имеет единственный делитель — саму себя. Оно не считается ни простым, ни составным. Таким образом, множество натуральных чисел разбивается на три части:

1
Число 1 — имеет единственный делитель.
2
Простые числа — имеют в точности 2 делителя.
3
Составные числа — имеют больше 2 делителей.

Как разложить составное число на множители

Утверждение «число составное» — это утверждение о существовании: число составное, если у него есть хотя бы один делитель, не равный ни ему самому, ни 1. Другими словами, число составное, если его можно разложить хотя бы на два множителя, ни один из которых не равен 1. Например, $21 = 3 \cdot 7$.

А вот при разложении простого числа на два множителя всё наоборот: один из множителей всегда равен 1, а другой — самому числу. Например, $17 = 1 \cdot 17$ — по-другому 17 разложить нельзя.

Пифагор, Евклид и решето Эратосфена

Интерес математиков к простым числам огромен ещё с древнейших времён. Само понятие простого числа ввёл древнегреческий учёный Пифагор ещё в VI веке до н. э. А в III веке до н. э. Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много: за каждым простым числом всегда найдётся ещё большее простое число.

Другой греческий математик того же времени, Эратосфен, придумал остроумный способ составления списка простых чисел — его называют «решетом Эратосфена». Греки делали записи на покрытых воском табличках и не вычёркивали числа, а выкалывали их иглой — в конце вычислений табличка напоминала решето, в котором простые числа «отсеивались» от остальных.

1
Выписываем все числа от 1 до $N$ по порядку.
2
Вычёркиваем число 1 — оно не простое и не составное.
3
Первое оставшееся число объявляем простым и вычёркиваем все его кратные (кроме него самого).
4
Переходим к следующему «уцелевшему» числу, объявляем его простым и снова вычёркиваем его кратные.
5
Повторяем, пока не переберём все числа — все невычеркнутые числа окажутся простыми.

Пройди «решето» по шагам в блоке «Решето Эратосфена» справа и посмотри, как за 4 шага отсеиваются все составные числа до 100.

⚠️ Частая ошибка: думать, что все нечётные числа — простые. Это неверно: например, $91 = 7 \times 13$ — нечётное, но составное число! Ещё одна частая путаница — забыть, что 2 — единственное чётное простое число: любое другое чётное число больше 2 обязательно делится на 2, а значит, у него есть третий делитель — оно составное. И, конечно, не стоит путать 1 с простым числом: у единицы всего один делитель, поэтому она не входит ни в простые, ни в составные.
🧠 Запомни:
  • Простое число — ровно 2 делителя (1 и само число). Составное — больше 2 делителей.
  • Число 1 — не простое и не составное, у него один-единственный делитель.
  • Составное число всегда можно разложить на 2 множителя, ни один из которых не равен 1.
  • Решето Эратосфена: вычёркиваем 1, затем кратные каждого «уцелевшего» числа — остаются только простые.
  • 2 — единственное чётное простое число.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике