5 класс · Дроби

Сравнение дробей

Дроби с одинаковыми знаменателями и числителями

Представь, что торт разрезали на $5$ одинаковых кусков. Если ты возьмёшь $2$ куска, у тебя будет $\tfrac25$ торта, а если $4$ куска — $\tfrac45$. Понятно, что $4$ куска больше, чем $2$, значит и $\tfrac25 < \tfrac45$. И вообще:

Правило 1. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой числитель меньше: $$\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c} \;\Leftrightarrow\; a < b.$$

А что если торты одинаковые, но разрезаны на разное число кусков? Чем на большее число частей мы делим торт, тем меньше получается каждый кусок — например, $\tfrac15 < \tfrac13$, ведь пятая часть торта меньше третьей. А тогда и несколько одинаковых по счёту маленьких кусков вместе меньше, чем столько же больших: $\tfrac25 < \tfrac23$. И вообще:

Правило 2. Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше: $$\dfrac{c}{a} > \dfrac{c}{b} \;\Leftrightarrow\; a < b.$$

          💡 Из жизни: одна и та же пицца, разрезанная на $8$ частей, даёт кусочки мельче, чем та
          же пицца, разрезанная всего на $4$ части — хотя пицца одна и та же. Поэтому $\tfrac18 < \tfrac14$: чем
          больше делишь, тем меньше достаётся.
        

Попробуй сам в блоке «Одинаковые знаменатель/числитель» справа — переключай примеры и смотри, как закраска полосок подтверждает оба правила.

Общее правило сравнения дробей

А как сравнить дроби, у которых и числители, и знаменатели разные? Благодаря основному свойству дроби можно всегда привести обе дроби к одинаковому знаменателю (или к одинаковому числителю) — и дальше применить одно из правил выше.

Пример: сравни $\tfrac{5}{12}$ и $\tfrac49$

1

Приводим обе дроби к наименьшему общему знаменателю $36$: $\tfrac49=\tfrac{4\cdot4}{9\cdot4}=\tfrac{16}{36}$, $\tfrac{5}{12}=\tfrac{5\cdot3}{12\cdot3}=\tfrac{15}{36}$.

2

Сравниваем дроби с одинаковым знаменателем: $\tfrac{16}{36}>\tfrac{15}{36}$, значит $\tfrac49>\tfrac{5}{12}$.

Но существует более короткий путь — общее правило сравнения, которое подходит для любых двух дробей с натуральными числителями и знаменателями:

Общее правило сравнения. Чтобы сравнить дроби $\tfrac{a}{b}$ и $\tfrac{c}{d}$, умножают числитель одной дроби на знаменатель другой «крест-накрест» и сравнивают полученные произведения: $$\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d} \;\Leftrightarrow\; ad < bc.$$

Почему это работает

1

По основному свойству дроби $\tfrac{a}{b}=\tfrac{ad}{bd}$ и $\tfrac{c}{d}=\tfrac{bc}{bd}$ — теперь у обеих дробей одинаковый знаменатель $bd$.

2

А для дробей с одинаковым знаменателем (Правило 1) верно $\tfrac{ad}{bd} < \tfrac{bc}{bd} \Leftrightarrow ad < bc$ — что и требовалось.

Если при этом «крест-накрест» произведения оказались равны, значит дроби равны. Отсюда — условие равенства дробей:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \;\Leftrightarrow\; ad = bc.$$

Проверь общее правило сам в блоке «Крест-накрест» справа — на примере $\tfrac{5}{12}$ и $\tfrac49$.

          💡 Полезные хитрости. Прежде чем приводить дроби к общему знаменателю, полезно
          прикинуть: $\tfrac{112}{113} < \tfrac{113}{112}$, потому что первая дробь меньше $1$, а вторая — больше
          $1$; $\tfrac{23}{45} > \tfrac{33}{67}$, потому что первая дробь больше $\tfrac12$, а вторая — меньше
          $\tfrac12$. Такие приёмы часто быстрее, чем общее правило.
        

Сравнение смешанных чисел

Смешанные числа сравнивать даже проще — не обязательно переводить их в неправильные дроби.

Правило. Сначала сравнивают целые части смешанных чисел. Если целые части разные — больше то число, у которого целая часть больше. Если целые части равны — сравнивают дробные части (по правилам выше).

Примеры

1

$12\tfrac{13}{41} < 13\tfrac38$, потому что $12 < 13$ — целые части разные, дробные части даже не нужны.

2

$12\tfrac38 > 12\tfrac27$, потому что целые части равны ($12=12$), а $\tfrac38>\tfrac27$ (сравниваем крест-накрест: $3\cdot7=21 > 8\cdot2=16$).

Попробуй сам в блоке «Смешанные числа» справа.

⚠️ Частая ошибка: сравнивать только дробные части смешанных чисел, забыв про целые. Например, $5\tfrac{1}{2}$ и $2\tfrac{9}{10}$ — дробная часть $\tfrac12$ меньше, чем $\tfrac{9}{10}$, но само число $5\tfrac12$ всё равно больше, потому что у него больше целая часть: $5>2$. Целая часть сравнивается первой и часто сразу решает исход.

🧠 Запомни:

Одинаковые знаменатели — сравниваем числители: $\tfrac{a}{c} < \tfrac{b}{c} \Leftrightarrow a < b$.
Одинаковые числители — сравниваем знаменатели, но наоборот: $\tfrac{c}{a} > \tfrac{c}{b} \Leftrightarrow a < b$.
Общее правило для любых дробей: $\tfrac{a}{b} < \tfrac{c}{d} \Leftrightarrow ad < bc$ (крест-накрест).
Смешанные числа: сначала целая часть, и только при равенстве целых частей — дробная.