5 класс · Дроби

Деление дробей

Откуда берётся правило: деление через умножение

Раньше мы уже вывели правило умножения дробей, а вот с делением поступим по-другому: не будем придумывать новую задачу «из жизни», а воспользуемся связью деления с умножением, которую ты знаешь ещё с натуральных чисел.

По определению, разделить число $a$ на число $b$ — значит найти такое число $c$, что при умножении на $b$ снова получится $a$: $$a:b=c \iff c\cdot b=a.$$ Будем считать это определение верным и для дробей (при $b\neq0$). Разделим, например, $\tfrac37$ на $\tfrac25$. Нужно найти дробь $\tfrac pq$, для которой $\tfrac pq\cdot\tfrac25=\tfrac37$.

Как найти неизвестную дробь $\tfrac pq$

1

Умножим обе части равенства $\tfrac pq\cdot\tfrac25=\tfrac37$ на дробь $\tfrac52$ — «перевёрнутую» дробь $\tfrac25$.

2

Слева $\tfrac25\cdot\tfrac52=1$, поэтому остаётся $\tfrac pq\cdot1=\tfrac pq$.

3

Справа получаем $\tfrac37\cdot\tfrac52$ — значит, $\tfrac37:\tfrac25=\tfrac37\cdot\tfrac52$.

Дробь $\tfrac52$, у которой числитель и знаменатель поменялись местами по сравнению с $\tfrac25$, называют обратной дробью (в быту говорят «перевёрнутая»). Взгляни на блок «Обратные дроби» справа — прямоугольник со сторонами $\tfrac ab$ и $\tfrac ba$ всегда даёт площадь ровно $1$, потому что числитель и знаменатель произведения совпадают.

Правило деления дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю: $$\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c},\quad a,b,c,d\in\mathbb{N}.$$

Самое полезное в этом правиле — деление дробей сводится к их умножению, а умножать дроби, как ты уже знаешь, гораздо проще, чем делить натуральные числа «в столбик». Проверь правило сам в блоке «Деление дробей» — там та же площадная модель, что и при умножении, только числитель и знаменатель делителя меняются местами перед тем как закрашивать прямоугольник.

          💡 Частные случаи. Для деления дробей верны те же правила с $0$ и $1$, что и для натуральных
          чисел: $$\dfrac{a}{b}:1=\dfrac{a}{b},\qquad \dfrac{a}{b}:\dfrac{a}{b}=1,\qquad 0:\dfrac{a}{b}=0.$$
          А делить на ноль по-прежнему нельзя — ни для натуральных чисел, ни для дробей.
        

Взаимно обратные дроби

Если дробь $\tfrac ab$ является обратной для дроби $\tfrac ba$, то и дробь $\tfrac ba$, очевидно, является обратной для дроби $\tfrac ab$. Такую пару дробей называют взаимно обратными.

Определение. Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно $1$. Например: $\tfrac59$ и $\tfrac95$, $\tfrac{48}{17}$ и $\tfrac{17}{48}$, $\tfrac{56}{3}$ и $\tfrac{3}{56}$.

Обрати внимание: у натурального числа $n$ обратная дробь — это $\tfrac1n$ (потому что $n=\tfrac n1$, а «перевёрнутая» дробь — $\tfrac1n$). У самого числа $1$ обратное — снова $1$: $1\cdot1=1$. А вот у числа $0$ обратного числа не существует — на $0$ умножать так, чтобы получить $1$, нельзя.

Деление дроби на натуральное число — короткий путь

При делении дроби на натуральное число, как и при умножении, необязательно каждый раз проделывать всю цепочку рассуждений. Натуральное число $n$ — это дробь $\tfrac n1$, а обратная ей — $\tfrac1n$, поэтому: $$\dfrac{a}{b}:n=\dfrac{a}{b}:\dfrac{n}{1}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{1}{n}=\dfrac{a}{bn}.$$

Правило. Чтобы разделить дробь на натуральное число, умножают знаменатель дроби на это число, а числитель оставляют без изменения: $$\dfrac{a}{b}:n=\dfrac{a}{bn},\quad a,b,n\in\mathbb{N}.$$ Например: $$\dfrac{16}{25}:8=\dfrac{16}{25\cdot8}=\dfrac{16}{200}=\dfrac2{25}.$$ Проверь на других примерах в блоке «Дробь : число» справа.

⚠️ Частая ошибка. Ученики иногда путают правило умножения и деления на натуральное число: при умножении $\tfrac ab\cdot n$ умножается числитель ($\tfrac{a\cdot n}{b}$), а при делении $\tfrac ab:n$ умножается знаменатель ($\tfrac{a}{b\cdot n}$). Легко перепутать местами — если сомневаешься, лучше пройти всю цепочку через обратную дробь: $\tfrac ab:n=\tfrac ab\cdot\tfrac1n$.

Деление смешанных чисел

При делении смешанных чисел их сначала переводят в неправильные дроби, а затем применяют общее правило деления:

Пример: $4\tfrac23:3\tfrac19$

1

Переводим оба числа в неправильные дроби: $4\tfrac23=\tfrac{14}3$ и $3\tfrac19=\tfrac{28}9$.

2

Делим по правилу — умножаем на обратную: $\tfrac{14}3:\tfrac{28}9=\tfrac{14}3\cdot\tfrac9{28}$.

3

Сокращаем и вычисляем: $\tfrac{14\cdot9}{3\cdot28}=\tfrac{126}{84}=\tfrac32=1\tfrac12$.

Если делимое или делитель — натуральное число, поступают так же: переводят смешанное число в неправильную дробь и делят по общему правилу. Но при делении смешанного числа на натуральное иногда удобнее не переводить его в дробь, а поделить отдельно целую и дробную части: $$6\tfrac89:2=(6+\tfrac89):2=6:2+\tfrac89:2=3+\tfrac8{9\cdot2}=3+\tfrac49=3\tfrac49.$$

На практике это преобразование делают «в уме» и записывают короче: $6\tfrac89:2=3+\tfrac8{9\cdot2}=3\tfrac49$. Сравни оба способа в блоке «Смешанные» справа.

🧠 Запомни:

$$\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}$$ — делить на дробь значит умножать на обратную ей.
Дробь $\tfrac ba$ называют обратной для $\tfrac ab$: их произведение всегда равно $1$.
$$\dfrac{a}{b}:n=\dfrac{a}{bn}$$ — при делении на натуральное число умножается знаменатель, а не числитель.
Смешанные числа перед делением переводят в неправильные дроби, как и при умножении.
На ноль делить нельзя — ни натуральные числа, ни дроби.