Переменная и кванторы
Сокращённая запись длинных высказываний
Математический язык позволяет записывать высказывания коротко и обозримо. Например, «Для того чтобы найти пройденный путь, можно скорость движения умножить на время движения» на математическом языке — просто $s = vt$, а «Элемент $a$ не принадлежит множеству $A$» — просто $a \notin A$.
Для двух особых видов высказываний — о существовании и общих — есть свои значки. Высказывания о существовании сокращённо записывают знаком $\exists$ («существует такой, что…») — его называют квантором существования. Общие высказывания записывают знаком $\forall$ («для любого», «для каждого», «для всякого») — это квантор общности.
Переменная и множество её значений
Чтобы записать высказывание с квантором, сначала вводят переменную и указывают множество, из которого она берёт значения. Например, «Существует натуральное число, квадрат которого больше 8, но меньше 12» записывается так:
Так же с помощью $\forall$ записываются общие высказывания:
| Русский язык | Логический язык |
|---|---|
| Все деревья имеют корни | $\forall x \in L: x$ имеет корни ($L$ — множество деревьев) |
| Любая правильная дробь меньше 1 | $\forall p \in P: p < 1$ ($P$ — множество правильных дробей) |
| Всякое натуральное число больше 2 | $\forall n \in \mathbb{N}: n > 2$ |
| От перемены мест слагаемых сумма не меняется | $\forall a \in \mathbb{R}, \forall b \in \mathbb{R}: a + b = b + a$ ($\mathbb{R}$ — множество дробей) |
Проверь последнюю строку — переместительное свойство — в интерактиве справа: сколько бы значений $a$ и $b$ ты ни поставил, равенство остаётся истинным.
Несколько переменных — один квантор на всех
Если переменных несколько и все они принимают значения из одного и того же множества, квантор можно не повторять для каждой переменной, а поставить один раз сразу для нескольких. Так, переместительное свойство сложения короче записывается:
Это то же самое высказывание, что и $\forall a \in \mathbb{R}, \forall b \in \mathbb{R}: a + b = b + a$ — просто запись компактнее.
Одно предложение — два разных высказывания
Символьная запись раскрывает важную особенность: и общие высказывания, и высказывания о существовании — это предложения с переменными, которые квантор превращает в высказывание. Возьмём предложение «Квадрат натурального числа $n$ равен 16» — само по себе оно не истинно и не ложно, ведь неизвестно, какое $n$ имеется в виду. Но добавив разные кванторы, получаем два разных высказывания:
$\forall n \in \mathbb{N}: n^2 = 16$ — «Квадрат любого натурального числа равен 16»; и $\exists n \in \mathbb{N}: n^2 = 16$ — «Существует натуральное число, квадрат которого равен 16».
Перебери числа $1$–$6$ в интерактиве справа — в блоках $\exists$ и $\forall$ — и увидь эту разницу своими глазами.
Итог
- $\exists$ — квантор существования («существует такой, что…»), $\forall$ — квантор общности («для любого», «для каждого»).
- Перед записью с квантором нужно ввести переменную и указать множество её значений.
- Несколько переменных из одного множества можно объединить под одним квантором: $\forall a, b \in \mathbb{R}$.
- Квантор — ещё один способ превратить предложение с переменной в высказывание — наряду с подстановкой конкретного значения.
- Высказывание с $\forall$ опровергается одним контрпримером; высказывание с $\exists$ доказывается одним подходящим значением.