5 класс · Математический язык

Метод проб и ошибок

Когда правила не помогают

💡 Из жизни: Наблюдательный Юра заметил, что если в двузначное число, выражающее расстояние в километрах, которое он сегодня проехал, вставить нуль между цифрами десятков и единиц, то получится число, в 9 раз большее исходного. Какое расстояние сегодня проехал Юра? Здесь нет готовой формулы для подстановки — приходится пробовать разные числа, пока не найдётся подходящее.

При решении задач бывает, что модель задачи не сводится к уже известным случаям — никакие выученные правила преобразований не помогают сразу найти ответ.

Метод проб и ошибок — способ найти решение, «экспериментально» подбирая значения неизвестного: пробуем число, смотрим, подходит ли оно, и если нет — пробуем следующее, учитывая, в какую сторону нужно изменить попытку.

Пример: подбираем х

Прямоугольный участок земли имеет ширину $x$ и длину $x+3$ (в метрах), а его площадь равна 70 м². Модель задачи — равенство $x(x + 3) = 70$.

Никакие известные правила преобразований здесь не помогают — начинаем пробовать.

1
Попробуем $x=4$: $4\cdot(4+3) = 4\cdot 7 = 28$ — значение слишком мало.
2
Попробуем $x=6$: $6\cdot(6+3) = 6\cdot 9 = 54$ — ближе к цели, но всё ещё мало.
3
Попробуем $x=7$: $7\cdot(7+3) = 7\cdot 10 = 70$ — получилось! Равенство верно.

Значит, ширина участка $x=7$ м, а длина $x+3=10$ м.

Задача решена? Не спеши

Может показаться, что задача уже решена, но это не так: буквенное выражение может быть равно 70 при разных значениях $x$. Например, произведение $x\cdot(17-x)$ равно 70 и при $x=7$, и при $x=10$ — сразу два разных ответа.

Полнота решения. Для полного решения задачи нужно найти все её решения или доказать, что других решений нет. Один найденный подходящий вариант — это ещё не полное решение.

В нашей задаче $x$ — это ширина участка, поэтому $x>0$, и проверить полноту несложно:

1
Если $x$ больше 7, то $x+3$ больше 10, и тогда произведение $x(x+3)$ станет больше 70.
2
Аналогично, если $x$ меньше 7, то произведение $x(x+3)$ окажется меньше 70.
3
Значит, равенство $x(x+3)=70$ верно только при одном значении $x=7$ — других решений нет.

Ответ: длины сторон участка равны 7 м и 10 м — проверь на прямоугольнике справа.

⚠️ Частая ошибка: найдя одно подходящее число, ученики сразу записывают его в ответ и останавливаются. Но подбор одного решения не гарантирует полноты решения — нужно ещё показать (как в шагах выше), что другие значения $x$ не подходят, иначе можно пропустить второй верный ответ.
🧠 Запомни:
  • Если известные правила преобразований не помогают — используй метод проб и ошибок: подставляй числа и смотри, подходят ли они.
  • Каждая проба даёт подсказку — увеличить или уменьшить следующее число.
  • Найти одно подходящее число — это ещё не полное решение задачи.
  • Полнота решения — это доказательство, что все возможные решения найдены и ни одно не пропущено.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике