6 класс · Арифметика

Зависимости между величинами

Формула — это записанная зависимость между величинами

Математика зародилась для решения практических задач. Один из самых полезных результатов этого пути — верные равенства, описывающие зависимости между величинами, — формулы. Например, формула площади прямоугольника $S = ab$ связывает три величины: длину $a$, ширину $b$ и площадь $S$. Чтобы узнать площадь, не нужно укладывать прямоугольник квадратиками и считать их — достаточно измерить и перемножить длину и ширину.

Похожая по строению формула есть и в физике — формула пути $s = vt$, где $s$ — путь, $v$ — скорость, $t$ — время равномерного движения.

💡 Из жизни: каменщик кладёт кирпичи, наборщик набирает текст, вода из трубы наполняет бассейн — во всех этих случаях выполняется работа. Насколько быстро она выполняется, показывает производительность — объём работы за единицу времени. Если за час выполняется работа объёмом $w$, то за время $t$ будет выполнена работа $A = wt$.

Такие зависимости, где одна величина — произведение двух других, встречаются очень часто. Вот лишь несколько примеров:

ПроизведениеМножительМножительФормула
Путь ($s$)Скорость ($v$)Время ($t$)$s=vt$
Работа ($A$)Производительность ($w$)Время ($t$)$A=wt$
Стоимость ($C$)Цена ($a$)Количество товара ($n$)$C=an$
Площадь прямоугольника ($S$)Длина ($a$)Ширина ($b$)$S=ab$
Масса вещества ($m$)Плотность ($\rho$)Объём ($V$)$m=\rho V$
Формула произведения. Отвлекаясь от конкретных величин, общее свойство всех таких зависимостей записывают одной обобщённой формулой: $$a = bc,$$ где $a$, $b$, $c$ — некоторые переменные величины (буквы могут быть любыми, суть не меняется).

Единицы измерения должны быть согласованы

У формул, связывающих величины, есть важная особенность: единицы измерения входящих в них величин должны быть согласованы между собой. Если этого не сделать, формула даст неверный ответ.

1
Турист идёт со скоростью $v = 4$ км/ч. За $t = 30$ мин он прошёл некоторое расстояние — найдём его по формуле $s = vt$.
2
Если подставить минуты прямо в формулу, получится неверно: $4 \cdot 30 = 120$ км — турист столько пройти пешком не может.
3
Сначала нужно перевести минуты в часы: $30$ мин $= 0,5$ ч. Теперь единицы согласованы, и $s = 4 \cdot 0,5 = 2$ км — верный ответ.
⚠️ Частая ошибка. Подставлять в формулу числа «как есть», не проверив единицы измерения. Если скорость дана в км/ч, а время — в минутах, перемножать их напрямую нельзя: сначала приведи все величины к согласованным единицам (например, переведи минуты в часы), и только потом вычисляй.

Чтобы не ошибаться, единицы измерения можно «перемножать» и «делить» по тем же правилам, что и числовые дроби, — знак косой черты читается как черта дроби: $$\text{км/ч} \cdot \text{ч} = \text{км}, \qquad \text{км} : (\text{км/ч}) = \text{ч}.$$

Как найти каждую из трёх величин

Формула произведения $a = bc$ на самом деле задаёт сразу три способа найти нужную величину — в зависимости от того, что известно, а что нужно узнать.

1
Известны оба множителя $b$ и $c$ — тогда произведение находим умножением: $a = bc$.
2
Известны произведение $a$ и один из множителей $c$ — тогда второй множитель находим делением: $b = a : c$.
3
Известны произведение $a$ и множитель $b$ — тогда оставшийся множитель находим тоже делением: $c = a : b$.

Для формулы пути это даёт три знакомые формулы: $s = vt$, $v = s:t$, $t = s:v$. Справа — интерактивная схема-треугольник: выбирай вкладку (тройку величин) и кнопку «Найти…», а ползунками задавай известные значения — скрытая величина посчитается сама.

🧠 Запомни: в формуле произведения $a = bc$ можно найти любую из трёх величин: сама $a$ находится умножением $b$ на $c$, а любой из множителей $b$ или $c$ — делением $a$ на другой множитель. Перед вычислением всегда проверяй, что единицы измерения величин согласованы.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике