5 класс · Делимость натуральных чисел

Дополнительные свойства умножения и деления

Деление «по частям»

Разложение числа на простые множители помогает не только умножать, но и делить. Произведение двух чисел получается, если выписать вместе их разложения на простые множители. Значит, чтобы найти частное, можно, наоборот, из простых множителей делимого вычеркнуть простые множители делителя:

$183\,456 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7\cdot7\cdot13,\quad 234=2\cdot3\cdot3\cdot13$
$183\,456 : 234 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot7\cdot7$

Убирать простые множители можно не все сразу, а постепенно, по частям. Например, у чисел 5845 и 35 есть общий множитель 5. Сначала вычёркиваем из обоих разложений пятёрку, а потом — оставшуюся семёрку:

$5845 : 35 = 1169 : 7 = 167$

          💡 Из жизни: представь, что 96 пирожков нужно поровну раздать 4 классам, а в каждом классе —
          по 6 групп детей. Можно сразу разделить 96 на $4\cdot6=24$ группы, а можно сначала разделить пирожки между
          4 классами (по 24 пирожка), а потом каждый класс поделит свои 24 пирожка на 6 групп (по 4 пирожка). Результат
          один и тот же — просто раскладывать проще, если делить не сразу на большое число, а по частям, на
          однозначные множители. Попробуй сам разложить деление на части в блоке
          «Деление по частям» справа.
        

Теорема 1. Деление на произведение

Для любых натуральных чисел $a$, $b$ и $c$ (если все указанные деления выполнимы) верно равенство: $$a:(b\cdot c) = (a:b):c$$

Почему это так — рассуждаем через разложение на простые множители.

1

Частное $a:(b\cdot c)$ получается, если из разложения числа $a$ убрать все простые множители числа $b\cdot c$ — то есть объединение множителей числа $b$ и множителей числа $c$.

2

При вычислении $(a:b):c$ получается то же самое, только множители убираются не сразу, а последовательно: сначала множители числа $b$, потом — множители числа $c$.

3

Убрать все множители сразу или убрать их по очереди — результат один и тот же. Значит, $a:(b\cdot c)=(a:b):c$, что и требовалось доказать.

Именно на этом основано деление «по частям» — деление на многозначное число заменяют цепочкой делений на однозначные множители. Пример: $288 = (2\cdot2)\cdot(2\cdot2\cdot2)\cdot(3\cdot3)$, поэтому деление на 288 можно заменить на три деления подряд — на 4, на 8 и на 9.

Теоремы 2 и 3. Свойства частного

Ещё два полезных свойства связывают деление с одновременным изменением делимого и делителя.

Теорема 2. Для любых натуральных чисел $a$, $b$ и $c$ (где $c$ — общий делитель $a$ и $b$): $$a:b = (a:c):(b:c)$$ Частное не изменится, если делимое и делитель разделить на одно и то же натуральное число.

Теорема 3. Для любых натуральных чисел $a$, $b$ и $c$: $$a:b = (a\cdot c):(b\cdot c)$$ Частное не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же натуральное число.

Доказать теорему 3 проще всего справа налево: равенство $(a\cdot c):(b\cdot c) = a:b$ верно, потому что мы разделили делимое $(a\cdot c)$ и делитель $(b\cdot c)$ на число $c$ — а это уже теорема 2. Значит, обе теоремы вместе означают одно правило: частное не меняется, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число — так же, как при сокращении и расширении дробей.

Проверь оба свойства на конкретных числах в блоке «Свойства частного» справа.

Бонус: связь НОД и НОК

Эти же свойства деления помогают доказать красивый факт про наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел:

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ верно равенство $$\text{НОД}(a,b)\cdot\text{НОК}(a,b) = a\cdot b$$

Вспомни правило из предыдущих тем: НОД — это общие простые множители с наименьшими показателями, а НОК — все встречающиеся множители с наибольшими показателями. Если для каждого простого множителя сложить его наименьший и наибольший показатель у чисел $a$ и $b$, получится ровно сумма показателей в $a$ и в $b$ — то есть множитель числа $a\cdot b$. Проверь это равенство на числах в блоке «$\text{НОД}\cdot\text{НОК} = a\cdot b$» справа.

⚠️ Частая ошибка: когда деление расписывают «по частям», после первого деления по ошибке начинают умножать, а не делить дальше. Например, при вычислении $720:(4\cdot6)$ верно так: $720:4=180$, а затем $180:6=30$. Ошибочно же вместо второго деления пишут $180\cdot6=1080$ — путают оставшийся множитель в скобках с множителем, на который нужно ещё раз разделить, а не умножить. Всегда проверяй знак действия у каждого оставшегося множителя делителя.

🧠 Запомни:

$a:(b\cdot c) = (a:b):c$ — делить на произведение можно по частям, множитель за множителем.
$a:b = (a:c):(b:c)$ — частное не меняется, если делимое и делитель разделить на одно число.
$a:b = (a\cdot c):(b\cdot c)$ — частное не меняется, если делимое и делитель умножить на одно число.
Деление «по частям» удобно, когда делитель раскладывается на однозначные множители — так вместо одного сложного деления получается несколько простых.
$\text{НОД}(a,b)\cdot\text{НОК}(a,b) = a\cdot b$ — полезное следствие тех же свойств.