5 класс · Делимость натуральных чисел

Равносильность предложений

Что значит «равносильны»?

В математическом языке, кроме знаков арифметических действий и знаков сравнения, есть и другие знаки, помогающие короче записывать предложения из обычного языка. Один из них — знак равносильности $\Leftrightarrow$. Мы уже пользовались им, когда записывали признаки делимости.

Понятие равносильности встречается не только в математике, но и в обычной речи. Одну и ту же мысль часто можно выразить разными словами — а иногда и на разных языках. Например, фразы «5 больше 2» и «2 меньше 5» говорят об одном и том же, только по-разному. Такие предложения называют равносильными.

Определение. Два предложения называются равносильными, если они означают одно и то же — просто выражены разными способами. Для краткой записи этого факта используют знак $\Leftrightarrow$: $$2 < 5 \Leftrightarrow 5 > 2$$
💡 Из жизни: «Вася — родной брат Кати», «Катя — родная сестра Васи» и «Вася и Катя имеют одних и тех же родителей» — это три разных предложения, но все они рассказывают об одном и том же факте. Значит, они равносильны: $\text{Вася — брат Кати}\Leftrightarrow\text{Катя — сестра Васи}$.

Обрати внимание на сам знак $\Leftrightarrow$: если убрать у него «стрелочки» слева и справа, останется обычный знак равенства $=$. Это не случайно! Знак равенства показывает, что два числовых выражения имеют одно и то же значение (например, $2\cdot2=4$). А знак равносильности имеет тот же смысл, но применяется не к числам, а к предложениям — высказываниям или высказывательным формам.

Цепочки равносильных предложений

Точно так же, как записывают цепочку равенств при упрощении числового выражения — например, $7\cdot8-20=56-20=36$ — можно записывать и цепочки равносильных предложений. Так на самом деле выглядит обычное решение уравнения:

1
Берём исходное уравнение $(2x-3):5+3=6$ и шаг за шагом упрощаем его — вычитаем, делим, переносим слагаемые. На каждом шаге получается предложение, которое означает то же самое, что и исходное.
2
Поэтому каждый переход можно соединить знаком равносильности $\Leftrightarrow$, а не просто записывать новую строчку — ведь мы не меняем смысл, а только его форму.
3
Последнее звено цепочки — уже простое равенство вида $x=9$. Оно равносильно самому первому уравнению, значит, $x=9$ и есть решение.

Посмотри всю цепочку целиком и проверку решения в блоке «Цепочка равенств» справа.

Равносильность и «тогда и только тогда»

Знак равносильности имеет тот же смысл, что и слова «в том и только в том случае», которые часто встречаются в математическом языке (говорят также «тогда и только тогда» или «если и только если»). Именно поэтому признаки делимости записывают через $\Leftrightarrow$:

Число $k$ делится на 3 $\Leftrightarrow$ Сумма цифр числа $k$ делится на 3.

Здесь важны оба направления сразу: если число делится на 3, то и сумма его цифр делится на 3 — и наоборот, если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3. Работает только тогда, когда верно и то, и другое направление. Проверь это (и другие признаки делимости) на конкретных числах в блоке «Проверка равносильности» справа.

⚠️ Частая ошибка: путать равносильность с обычным следствием «в одну сторону». Например, «Все кошки — четвероногие» — верное предложение. Но обратное к нему — «Все четвероногие — кошки» — уже неверно (у собаки тоже четыре ноги, а она не кошка). Значит, эти два предложения не равносильны, хотя одно из них верное. Так же и с числами: «число делится на 2» не равносильно «число оканчивается цифрой 2» — ведь, например, 14 делится на 2, но не оканчивается на 2. Проверить неравносильность помогает контрпример — конкретный случай, где одно предложение верно, а другое нет. Найди такой случай сам в блоке «Проверка равносильности».
🧠 Запомни:
  • Два предложения равносильны, если они означают одно и то же — просто выражены разными словами.
  • Знак $\Leftrightarrow$ для предложений — то же самое, что знак $=$ для числовых выражений.
  • Равносильность работает в обе стороны: и «если A, то B», и «если B, то A».
  • Решение уравнения — это цепочка равносильных предложений, как цепочка равенств при вычислениях.
  • Чтобы доказать, что предложения не равносильны, достаточно одного контрпримера.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике