5 класс · Дроби

Задачи на дроби

Целое, часть и дробь — три величины одной картинки

В задачах на дроби всегда участвуют три величины: некоторое число $a$, принятое за «целое» (единицу), его часть $b$ и дробь $\tfrac{m}{n}$, которая показывает, какую долю целого составляет эта часть. Если начертить полоску, изображающую целое $a$, и закрасить в ней долю $\tfrac{m}{n}$, получится ровно та часть $b$.

Три типа задач на дроби различаются тем, какая из величин $a$, $b$ или $\tfrac{m}{n}$ неизвестна:

найти часть от числа — неизвестно $b$;
найти число по его части — неизвестно $a$;
найти, какую часть одно число составляет от другого, — неизвестна $\tfrac{m}{n}$.

Тип 1. Часть от числа, выраженная дробью

Чтобы найти часть числа $a$, выраженную дробью $\tfrac{m}{n}$, число делят на знаменатель дроби и умножают на её числитель — а это то же самое, что просто умножить число на саму дробь: $$b = a:n\cdot m = \frac{m}{n}\cdot a.$$

Задача 1. Саша гулял 40 мин. Из них $\tfrac58$ всего времени он играл в футбол. Сколько времени играл Саша в футбол?

1

Нужно найти $\tfrac58$ от $40$ мин. Сначала узнаём одну восьмую: $40:8=5$ (мин).

2

Полученное число увеличиваем в 5 раз: $5\cdot5=25$ (мин).

3

Коротко: $40:8\cdot5=\dfrac{40\cdot5}{8}=40\cdot\dfrac58=25$ (мин) — Саша играл в футбол 25 минут.

          💡 Из жизни: представь плитку шоколада из 8 долек. Если ты знаешь, что весит вся
          плитка ($a$), и хочешь узнать, сколько весят 5 из 8 долек ($\tfrac58$ плитки), — просто раздели вес
          плитки на 8 (узнал вес одной дольки) и умножь на 5.
        

Тот же приём работает в примере 1: $\tfrac78$ от $24$ и примере 2: $\tfrac35$ от $60$ — во всех случаях число просто умножается на дробь.

Тип 2. Число по его части, выраженной дробью

Обратная задача: известна часть $b$, а найти нужно целое $a$. Чтобы найти число по его части, выраженной дробью $\tfrac{m}{n}$, часть делят на числитель и умножают на знаменатель — а это то же самое, что разделить часть на саму дробь: $$a = b:m\cdot n = b:\frac{m}{n}.$$

Задача 2. Турист прошёл 18 км, что составляет $\tfrac34$ его маршрута. Сколько всего километров должен пройти турист?

1

Сначала находим $\tfrac14$ маршрута, разделив 18 км на 3: $18:3=6$ (км).

2

Весь маршрут — это 4 такие четверти: $6\cdot4=24$ (км).

3

Коротко: $18:3\cdot4=\dfrac{18\cdot4}{3}=18:\dfrac34=24$ (км) — весь маршрут туриста 24 км.

Правило. Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, число умножают на эту дробь. Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, часть делят на эту дробь. Деление и умножение здесь — взаимно обратные операции.

Проверь в примере 1: $\tfrac34$ его составляют 45 и примере 2: заяц живёт 6 лет, что составляет $\tfrac34$ жизни белки — в каждом случае известная часть делится на дробь, чтобы найти целое.

Тип 3. Какую часть одно число составляет от другого

Теперь известны и целое $a$, и часть $b$, а найти нужно саму дробь $\tfrac{m}{n}$. Чтобы найти, какую часть первое число составляет от второго, первое число делят на второе: $$\frac{m}{n} = b:a.$$

Задача 3. Урок длится 45 мин. На решение уравнения ушло 10 мин. Какая часть урока была занята решением уравнения?

1

1 минута составляет $\tfrac{1}{45}$ часть урока, значит 10 минут — это $\tfrac{10}{45}$ урока.

2

Дробь $\tfrac{10}{45}$ — это результат деления $10:45$, и её можно сократить: $\tfrac{10}{45}=\tfrac29$.

3

На решение уравнения затрачено $\tfrac29$ урока.

Такой же расчёт — в примере 1: медь в сплаве, 3 кг из 5 кг и примере 2: 6 от 24.

⚠️ Частая ошибка. В задачах третьего типа легко перепутать, какое число ставить в числитель, а какое — в знаменатель. В дробь $\tfrac{m}{n}=b:a$ в знаменатель всегда идёт то число, с которым сравнивают («от которого» ищут часть), а в числитель — то, которое сравнивают. Если случайно поменять их местами, дробь «перевернётся» и ответ станет неверным (например, вместо $\tfrac{10}{45}=\tfrac29$ получится неверное $\tfrac{45}{10}$).

🧠 Запомни:

Часть от числа: $b=\tfrac{m}{n}\cdot a$ — число умножают на дробь.
Число по его части: $a=b:\tfrac{m}{n}$ — часть делят на дробь.
Какую часть первое число составляет от второго: $\tfrac{m}{n}=b:a$ — первое число делят на второе.
Все три правила — следствия одного равенства $b=\tfrac{m}{n}\cdot a$, где меняется только то, что неизвестно.