5 класс · Дроби

Задачи на дроби (продолжение)

Комбинированные задачи: проценты и остаток

Реальные задачи редко бывают «в один шаг». Обычно в них сочетаются проценты, доли и обычная арифметика — и решать такие задачи можно разными путями, которые приводят к одному и тому же ответу.

Задача 1. У Ани было 120 р. Из них 40% она затратила на завтрак в буфете, а на остальные деньги купила 6 тетрадей. Сколько рублей стоит одна тетрадь?

Способ I — сначала находим, сколько стоил завтрак:

1

$120\cdot\dfrac{40}{100}=48$ (р.) — стоит завтрак.

2

$120-48=72$ (р.) — стоят 6 тетрадей.

3

$72:6=12$ (р.) — цена одной тетради.

Способ II — сначала находим долю, которая пошла на тетради:

1

$100\%-40\%=60\%$ — часть всех денег, затраченная на тетради.

2

$120\cdot\dfrac{60}{100}=72$ (р.) — стоят 6 тетрадей.

3

$72:6=12$ (р.) — цена одной тетради.

Общий приём. В комбинированной задаче на проценты и дроби удобно двигаться от того, что известно точно, шаг за шагом: сначала находим одну неизвестную величину, затем используем её, чтобы найти следующую. Способ решения (через разность или через дополнение до 100%) можно выбирать любой — ответ будет одинаковым.

          💡 Из жизни: представь, что ты платишь за пиццу с друзьями. Если ты знаешь, сколько
          процентов суммы уже внёс один человек, ты можешь узнать оставшуюся сумму двумя путями — вычесть
          внесённое из целого или сразу вычислить недостающий процент. Результат один.
        

А вот пример задачи, где на первый взгляд кажется, что решение похоже, но есть ловушка.

Задача 2 (про сливы)

Мать оставила для трёх сыновей тарелку слив. Младший сын пришёл первым и съел третью часть слив, средний сын, придя вторым, съел третью часть того, что оставалось на тарелке, а старший сын съел 4 сливы — третью часть слив, которые он увидел на тарелке. Сколько слив было вначале?

1

После того как кто-то съедал треть, на тарелке оставалось $1-\tfrac13=\tfrac23$ того, что было.

2

4 сливы — это треть остатка, который увидел старший сын: $4:\tfrac13=12$ (сл.) было, когда пришёл старший сын.

3

$12:\tfrac23=18$ (сл.) было, когда пришёл средний сын.

4

$18:\tfrac23=27$ (сл.) было на тарелке вначале.

⚠️ Частая ошибка. Ученики часто вычисляют треть от исходного числа слив для каждого сына, забывая, что средний и старший сыновья брали треть не всех слив, а только тех, что оставались на тарелке к их приходу. Двигаться в таких задачах нужно от последнего действия назад — от известного остатка (4 сливы) к неизвестному началу (27 слив), а не наоборот.

Буквенные обозначения в задачах на дроби

Иногда введение буквенного обозначения искомого числа упрощает поиск решения и делает его короче.

Задача 3

Найти число, если $\tfrac23$ от него равны числу, $\tfrac56$ которого составляют 25.

1

Обозначим искомое число $x$. Число, $\tfrac56$ которого равны 25, найдём отдельно: $25:\tfrac56=30$.

2

По условию $\tfrac23$ от $x$ равны этому числу: $\tfrac23x=30$, значит $x=30:\tfrac23=45$.

Ответ: искомое число равно 45.

Задача 4. В трёх районах города проживает 12 000 человек. Сколько человек живёт в каждом районе, если $\tfrac23$ числа жителей первого района равны $\tfrac12$ числа жителей второго района и $\tfrac25$ числа жителей третьего района?

1

Обозначим число жителей районов $x$, $y$, $z$. По условию $\tfrac23x=\tfrac12y=\tfrac25z$, откуда $y=\tfrac43x$, а $z=\tfrac53x$.

2

Все три числа удобно выразить через одну величину $k=\tfrac13x$: тогда $x=3k$, $y=4k$, $z=5k$.

3

Сумма жителей: $3k+4k+5k=12000 \Rightarrow 12k=12000 \Rightarrow k=1000$.

4

Значит: в первом районе $3\cdot1000=3000$ человек, во втором $4\cdot1000=4000$, в третьем $5\cdot1000=5000$.

Приём с общим множителем $k$. Если несколько величин связаны отношением (например, $\tfrac23x=\tfrac12y=\tfrac25z$), их можно выразить как $3k$, $4k$, $5k$ через одно и то же число $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда сумма или разность этих величин превращается в простое уравнение относительно $k$.

Тот же приём работает в задаче про дома: в трёх домах 400 человек, $\tfrac25x=\tfrac13y=\tfrac29z$ — только соотношение частей там другое.

Таблица для сложных задач

Иногда условие задачи удобнее проанализировать не через уравнение, а с помощью таблицы — шаг за шагом отслеживая, что происходит с величиной.

Задача 5. В первый день я отпил $\tfrac13$ стакана чёрного кофе и долил стакан молоком, потом отпил ещё $\tfrac14$ стакана и снова долил его молоком, после чего отпил ещё $\tfrac15$ стакана. Сколько всего кофе я выпил?

1

После первого отпития: выпито $\tfrac13$ стакана чёрного кофе, осталось $1-\tfrac13=\tfrac23$ стакана.

2

После доливки молоком отпили $\tfrac14$ стакана смеси — а кофе в этой смеси было $\tfrac23$ стакана. Значит, выпито кофе $\tfrac14\cdot\tfrac23=\tfrac16$ стакана, осталось $\tfrac23-\tfrac16=\tfrac12$ стакана.

3

После новой доливки отпили $\tfrac15$ стакана смеси — выпито кофе $\tfrac15\cdot\tfrac12=\tfrac1{10}$ стакана.

4

Всего выпито кофе: $\tfrac13+\tfrac16+\tfrac1{10}=\tfrac{10}{30}+\tfrac{5}{30}+\tfrac{3}{30}=\tfrac{18}{30}=\tfrac35$ стакана.

Во второй день кофе отпивали в другом порядке ($\tfrac15$, затем $\tfrac14$, затем $\tfrac13$), но таким же способом — через таблицу — можно показать, что выпито тоже ровно $\tfrac35$ стакана.

🧠 Запомни:

В комбинированной задаче двигайся от известного шаг за шагом, каждый раз находя одну новую величину.
Дробь берётся не от исходного целого, а от того, что реально осталось на данный момент — это главная ловушка таких задач.
Буквенное обозначение $x$ и общий множитель $k$ упрощают задачи с несколькими связанными величинами.
Таблица помогает не запутаться, когда одна и та же операция повторяется несколько раз подряд.