5 класс · Дроби

Задачи на совместную работу

Производительность — часть работы за единицу времени

Однажды учитель предложил ученикам решить старинную задачу из математической рукописи XVII века: «Два плотника рядились двор ставить. И говорит первый: — Только бы мне одному двор ставить, то я бы поставил в 3 года. А другой молвил: — Я бы поставил его в шесть лет. Оба решили сообща ставить двор. Сколь долго они ставили двор?»

Мнения разделились. Одни решили, что вместе плотники построят дом за $3+6=9$ лет. Другие возражали: вместе должно получаться быстрее, а не дольше, чем у каждого поодиночке. Значит, время совместной работы точно меньше трёх лет. Но как его найти?

Задача о плотниках

1

Первый плотник строит весь двор за 3 года — значит, за 1 год он выполняет $\tfrac13$ двора. Такую часть работы, которую участник делает за единицу времени, называют производительностью и обозначают буквой $p$.

2

Второй плотник строит весь двор за 6 лет — его производительность $\tfrac16$ двора за год.

3

Вместе за 1 год плотники построят $\tfrac13+\tfrac16=\tfrac12$ двора. При совместной работе складываются не времена, а производительности участников!

4

Чтобы найти общее время $T$, нужно узнать, сколько раз по $\tfrac12$ содержится в целом дворе: $T=1:\tfrac12=2$ (года).

Определение. Вся работа принимается за единицу. Часть работы, выполненная за единицу времени (производительность), находится по формуле $p=1:T$, где $T$ — время, за которое работа выполняется полностью. Тогда $T=1:p$.

          💡 Из жизни: представь, что ванна наполняется двумя кранами. Один кран сам
          по себе наполнил бы ванну за 20 минут, второй — за 30 минут. Открывая оба крана сразу, ты
          не складываешь минуты (не получаешь 50 минут) — ты складываешь ту часть ванны, которую
          каждый кран наполняет за 1 минуту, и находишь общее время по этой сумме.
        

⚠️ Частая ошибка. Складывать время работы участников (как в споре учеников: $3+6=9$ лет). На самом деле при совместной работе складываются производительности (части работы за единицу времени), а время находится уже по их сумме через $T=1:p$ — и оно всегда меньше, чем время самого быстрого участника поодиночке.

Бассейн с тремя трубами

Задача 1. В городе есть искусственный водоём. Одна из труб может заполнить его за 4 ч, вторая — за 8 ч, а третья — за 24 ч. За сколько времени наполнится водоём, если открыть сразу 3 трубы?

1

$1:4=\tfrac14$ (водоёма) — наполнится через I трубу за 1 час.

2

$1:8=\tfrac18$ (водоёма) — наполнится через II трубу за 1 час.

3

$1:24=\tfrac{1}{24}$ (водоёма) — наполнится через III трубу за 1 час.

4

$\tfrac14+\tfrac18+\tfrac1{24}=\tfrac{6+3+1}{24}=\tfrac{10}{24}=\tfrac{5}{12}$ (водоёма) — наполнится через 3 трубы вместе за 1 час.

5

$1:\tfrac{5}{12}=1\cdot\tfrac{12}{5}=2\tfrac25$ (ч) — столько времени нужно, чтобы заполнить водоём тремя трубами сразу.

Ответ: через 3 трубы, работающие одновременно, водоём наполнится за $2\tfrac25$ ч.

Задачи на встречное движение — тоже «совместная работа»

Иногда никто ничего не «работает» в привычном смысле, но задача устроена точно так же. Это происходит с пешеходами, велосипедистами и машинами, которые движутся навстречу друг другу — весь путь принимается за «единицу», а часть пути, пройденную за час, считают, как производительность.

Задача 2. Два пешехода вышли одновременно из двух посёлков навстречу друг другу. Один пешеход может пройти весь путь за 3 ч, а другой — за $4\tfrac12$ ч. Через сколько времени они встретятся?

1

$1:3=\tfrac13$ (расстояния) — проходит I пешеход за 1 ч.

2

$1:4\tfrac12=1:\tfrac92=1\cdot\tfrac29=\tfrac29$ (расстояния) — проходит II пешеход за 1 ч.

3

$\tfrac13+\tfrac29=\tfrac{3+2}{9}=\tfrac59$ (расстояния) — сближаются оба пешехода за 1 ч.

4

$1:\tfrac59=1\cdot\tfrac95=\tfrac95=1\tfrac45$ (ч) — время до встречи.

Ответ: пешеходы встретятся через $1\tfrac45$ ч.

Обратная задача: находим неизвестного участника

Иногда известна не производительность каждого по отдельности, а только общая скорость совместной работы и производительность одного из участников. Тогда производительность второго находят вычитанием.

Задача 3. Бассейн заполняется через 2 трубы за $3\tfrac13$ ч. Если открыть одну первую трубу, то бассейн наполнится за 6 ч. За сколько времени наполнится бассейн через одну вторую трубу?

1

$1:6=\tfrac16$ (бассейна) — наполнится через I трубу за 1 час.

2

$1:3\tfrac13=1:\tfrac{10}{3}=1\cdot\tfrac{3}{10}=\tfrac{3}{10}$ (бассейна) — наполнится через обе трубы вместе за 1 час.

3

$\tfrac{3}{10}-\tfrac16=\tfrac{9-5}{30}=\tfrac{4}{30}=\tfrac{2}{15}$ (бассейна) — наполнится через II трубу за 1 час.

4

$1:\tfrac{2}{15}=1\cdot\tfrac{15}{2}=\tfrac{15}{2}=7\tfrac12$ (ч) — время работы II трубы одной.

Ответ: бассейн наполнится через одну вторую трубу за $7\tfrac12$ ч.

🧠 Запомни:

Производительность $p=1:T$ — часть работы за единицу времени; время $T=1:p$.
При совместной работе складываются производительности, а не время.
Общее время всегда меньше времени самого быстрого участника поодиночке — это удобная проверка ответа.
Встречное движение — та же схема: «работа» = пройденный путь, весь путь = единица.
Если известна общая производительность и производительность одного участника, то производительность другого находят вычитанием.