6 класс · Арифметика

Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями

Дроби двух видов в одном примере

Действия с обыкновенными дробями по отдельности и действия с десятичными дробями по отдельности мы уже освоили. Теперь разберём примеры, где обыкновенная и десятичная дробь встречаются вместе, в одном выражении — например: $2\tfrac34 - 0{,}6$;   $121{,}2 : \tfrac{6}{25}$;   $5{,}18 \cdot \tfrac{5}{7}$.

Правило. Чтобы выполнить действие с обыкновенной и десятичной дробью одновременно, обе дроби надо записать в одном и том же виде — либо обе как десятичные, либо обе как обыкновенные. Какой вид выбрать — зависит от того, как будет проще и удобнее считать.

Сравни три примера — в каждом выгоднее оказался свой вид записи:

$2\tfrac34 - 0{,}6 = 2{,}75 - 0{,}6 = 2{,}15$ — перешли к десятичным дробям.
$121{,}2 : \tfrac{6}{25} = \tfrac{1212}{10}\cdot\tfrac{25}{6} = 505$ — перешли к обыкновенным дробям.
$5{,}18 \cdot \tfrac{5}{7} = \tfrac{518}{100}\cdot\tfrac{5}{7} = \tfrac{37}{10} = 3{,}7$ — снова обыкновенные дроби.

Открой блок «Порядок действий» в интерактиве справа и разбери решение каждого примера по шагам.

Как выбрать: десятичные или обыкновенные

В первом примере после перевода $0{,}6$ в обыкновенную дробь получились бы разные знаменатели ($4$ и $5$) — а перевести $2\tfrac34$ в десятичную легко, так как знаменатель $4 = 2^2$ раскладывается только на множители $2$ и $5$. Поэтому удобнее десятичный вид.

А вот во втором и третьем примерах десятичный вид неудобен или вовсе невозможен. Деление на $\tfrac{6}{25}$ «уголком» потребовало бы громоздкого деления на двузначное число. А знаменатель дроби $\tfrac57$ содержит множитель $7$, который не раскладывается на $2$ и $5$ — значит эта дробь вообще не переводится в конечную десятичную. Тут выбор один — обыкновенные дроби.

💡 Проверь сам: в интерактиве справа кликай на знаменатели дробей и смотри, какие из них дают конечную десятичную дробь, а какие — нет.

Есть и ещё один нюанс: важно смотреть не только на текущее действие, но и на то, какое действие идёт следующим. Если после вычитания предстоит делить результат на $0{,}1$ — удобнее остаться в десятичных дробях. А если следующим действием идёт умножение на обыкновенную дробь — выгоднее сразу перевести всё в обыкновенные дроби, чтобы не переводить туда-обратно.

⚠️ Частая ошибка. Ученики пытаются перевести в десятичную дробь $\tfrac57$ или любую другую дробь со знаменателем, который делится на $3$, $7$, $11$ и т.п. — и получают бесконечную периодическую дробь вместо конечной. Перед переводом всегда проверяй разложение знаменателя: если в нём есть множитель, отличный от $2$ и $5$, — конечной десятичной дроби не будет, надо работать с обыкновенной.

Свойства сложения и умножения экономят действия

Прежде чем считать «в лоб», полезно проанализировать пример — иногда свойства сложения и умножения (переместительное, сочетательное, распределительное), уже известные тебе, позволяют заметно сократить вычисления.

$0{,}75 \cdot 6 + 0{,}75 \cdot 2 = 0{,}75 \cdot (6 + 2) = 0{,}75 \cdot 8 = 6$

Здесь мы вынесли общий множитель $0{,}75$ за скобки по распределительному свойству — вместо двух умножений и сложения осталось одно сложение внутри скобок и одно умножение. Точно так же в более сложных выражениях с дробями бывает выгодно сначала сгруппировать слагаемые так, чтобы получились «круглые» суммы (переместительное и сочетательное свойства), а уже потом искать общий множитель для сокращения дроби.

Задачи на совместную работу и на движение навстречу

Совместные действия с дробями обеих форм особенно часто нужны в текстовых задачах — на совместную работу и на встречное движение. В таких задачах числа тоже смешивают обыкновенные и десятичные дроби, проценты и время.

Совместная работа. Если один работник выполняет всю работу за $t_1$ часов, а другой — за $t_2$ часов, то за $1$ час первый выполняет $\tfrac{1}{t_1}$ всей работы, а второй — $\tfrac{1}{t_2}$. Вместе за $1$ час они выполняют $\tfrac{1}{t_1} + \tfrac{1}{t_2}$ работы.
Встречное движение. Если два объекта движутся навстречу друг другу со скоростями $v_1$ и $v_2$, то расстояние между ними сокращается со скоростью сближения $v_1 + v_2$ каждый час.

Открой блок «Задачи» в интерактиве справа — там разобраны по шагам оба типа задач, с теми самыми совместными действиями дробей.

🔧 Мастер и ученик — задача на совместную работу.
🚶 Навстречу друг другу — задача на встречное движение.

Итог

  • Дроби разных видов в одном примере всегда приводят к одному виду — десятичному или обыкновенному.
  • Обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную, только если её знаменатель (в несократимом виде) раскладывается лишь на множители $2$ и $5$.
  • Выбор вида зависит от удобства вычислений — учитывай и следующее действие тоже.
  • Переместительное, сочетательное и распределительное свойства помогают упростить вычисления ещё до того, как считать «по действиям».
  • В задачах на совместную работу и встречное движение работают формулы $\tfrac{1}{t_1}+\tfrac{1}{t_2}$ и $v_1+v_2$.
🧠 Запомни: прежде чем считать, спроси себя — «в каком виде проще?» и «нельзя ли сначала упростить выражение свойствами действий?». Это экономит время и снижает риск ошибки в громоздких вычислениях.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике