6 класс · Арифметика

Задачи на движение по реке

Течение помогает или мешает

Каждый, кто хоть раз плавал на лодке, знает: плыть вниз по реке — по течению — гораздо легче, чем вверх, против течения. Дело в том, что течение реки либо помогает двигаться, добавляя скорости, либо, наоборот, мешает — уменьшает её.

Скорость самого объекта (лодки, катера, пловца) в стоячей воде — без течения — называют собственной скоростью. Скорость, с которой течёт сама река, показывает, как далеко она относит за единицу времени любой предмет — щепку, плот, лодку.

Обозначения. $v_{соб.}$ — собственная скорость объекта (скорость в стоячей воде); $v_{теч.}$ — скорость течения реки; $v_{по\,теч.}$ — скорость объекта по течению; $v_{пр.\,теч.}$ — скорость объекта против течения. Тогда: $$v_{по\,теч.} = v_{соб.} + v_{теч.}$$ $$v_{пр.\,теч.} = v_{соб.} - v_{теч.}$$
💡 Из жизни: если собственная скорость лодки $5$ км/ч, а скорость течения реки $2$ км/ч, то по течению лодка плывёт со скоростью $5+2=7$ км/ч, а против течения — со скоростью $5-2=3$ км/ч. Открой блок «Река и лодка» и подвигай ползунки — посмотри, как это работает для любых скоростей.

Обратная задача: узнаём $v_{соб.}$ и $v_{теч.}$

А что если, наоборот, известны скорости по течению и против течения, а собственную скорость и скорость течения нужно найти? Сложим обе формулы:

$$v_{по\,теч.} + v_{пр.\,теч.} = (v_{соб.}+v_{теч.}) + (v_{соб.}-v_{теч.}) = 2v_{соб.}$$ Значит, собственная скорость равна полусумме скоростей по течению и против течения: $$v_{соб.} = (v_{по\,теч.} + v_{пр.\,теч.}) : 2$$ А скорость течения реки — полуразности тех же скоростей: $$v_{теч.} = (v_{по\,теч.} - v_{пр.\,теч.}) : 2$$

📐 Разберём на примере — открой блок «Обратная задача»: там пошагово решена классическая задача про катер.

Задача про катер

Условие. Катер по течению реки прошёл $87{,}5$ км за $5$ ч, а против течения то же самое расстояние он прошёл за $7$ ч. Чему равна собственная скорость катера и скорость течения реки?

🧮 Показать решение по шагам — все четыре действия разобраны в блоке «Обратная задача».

Идея решения простая: сначала по расстоянию и времени находим саму скорость по течению и против течения (расстояние делим на время), а дальше применяем уже знакомые формулы полусуммы и полуразности.

Более сложные задачи

В более сложных задачах на движение по реке часто приходится комбинировать формулы течения с уравнениями. Например: собственная скорость лодки в $4$ раза больше скорости течения реки. Против течения она прошла $10{,}8$ км за $1{,}5$ ч. Найти собственную скорость лодки и скорость по течению.

1
Скорость против течения: $10{,}8 : 1{,}5 = 7{,}2$ км/ч.
2
Пусть скорость течения — $x$ км/ч, тогда собственная скорость — $4x$ км/ч. Против течения: $4x - x = 7{,}2$, то есть $3x = 7{,}2$, откуда $x = 2{,}4$.
3
Значит, $v_{теч.} = 2{,}4$ км/ч, $v_{соб.} = 4 \cdot 2{,}4 = 9{,}6$ км/ч, а скорость по течению: $9{,}6 + 2{,}4 = 12$ км/ч.

Здесь пригодилось умение составлять и решать уравнение — тот же приём, что и в задачах других типов на части и на неизвестное число.

⚠️ Частая ошибка. В обратной задаче ученики иногда путают, что складывать, а что вычитать: складывают скорости по течению и против течения — получают удвоенную собственную скорость, а не саму собственную скорость, и забывают разделить результат пополам. Другая частая ошибка — не проверить ответ здравым смыслом: скорость течения не может быть больше собственной скорости лодки, иначе лодка вообще не сможет плыть против течения — её будет сносить назад.
🧠 Запомни: $v_{по\,теч.} = v_{соб.} + v_{теч.}$,   $v_{пр.\,теч.} = v_{соб.} - v_{теч.}$; обратные формулы — $v_{соб.} = (v_{по\,теч.} + v_{пр.\,теч.}) : 2$ и $v_{теч.} = (v_{по\,теч.} - v_{пр.\,теч.}) : 2$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике