6 класс · Арифметика

Среднее арифметическое

Откуда берётся «среднее»

В жизни постоянно слышишь слово «средний»: средний доход, средний балл, средний рост, средняя температура. Например, в разные месяцы человек зарабатывает по-разному, и чтобы понять, много это или мало, обычно складывают весь заработок за год и делят на 12 — получается среднемесячный доход. Точно так же общий уровень знаний класса оценивают средним баллом: складывают все оценки учеников и делят на их число.

💡 Открой блок «Три числа» справа и подвигай ползунки — посмотри, как считается среднее для любых трёх чисел.

Определение. Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на число слагаемых. Другими словами, среднее арифметическое чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ равно $$(a_1 + a_2 + \dots + a_n) : n$$

Пример: среднее трёх чисел

Задача. Найти среднее арифметическое чисел $2{,}7$; $8{,}215$ и $4{,}109$.

1
Складываем все числа: $8{,}215 + 2{,}7 + 4{,}109 = 15{,}024$.
2
Делим сумму на количество слагаемых — их три: $15{,}024 : 3 = 5{,}008$.

Ответ: $5{,}008$.

📊 Посмотреть на графике — блок «Три числа» уже настроена на эти значения.

Средний балл — какой класс написал лучше

Задача. Учащиеся 6 «А» класса за контрольную получили 4 пятёрки, 18 четвёрок и 3 тройки, а учащиеся 6 «Б» класса за ту же контрольную — 8 пятёрок, 12 четвёрок, 3 тройки и 1 двойку. Какой класс написал контрольную лучше?

1
Баллы 6 «А»: $5 \cdot 4 + 4 \cdot 18 + 3 \cdot 3 = 101$ — сумма всех оценок. Учеников: $4 + 18 + 3 = 25$. Средний балл: $101 : 25 = 4{,}04$.
2
Баллы 6 «Б»: $5 \cdot 8 + 4 \cdot 12 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 99$ — сумма всех оценок. Учеников: $8 + 12 + 3 + 1 = 24$. Средний балл: $99 : 24 = 4{,}125$.
3
Сравниваем: $4{,}04 < 4{,}125$, значит с контрольной лучше справился 6 «Б».

Оба класса справились неплохо, а разница небольшая — 6 «А» более ровный (результаты учеников близки к среднему), а 6 «Б» выигрывает за счёт группы «сильных» учеников.

Средняя скорость движения

До сих пор в задачах на движение объект двигался с постоянной скоростью — равномерно. Но в жизни так бывает редко: автобус то разгоняется, то тормозит, то стоит на остановке. Средней скоростью на маршруте называют частное от деления всего пройденного пути на всё затраченное время:

$$v_{ср.} = S_{весь\ путь} : t_{всё\ время}$$ Если бы объект двигался равномерно со средней скоростью, он прошёл бы весь маршрут ровно за то же время, что и на самом деле.

Задача. Автобус первые 2 ч ехал со скоростью $56{,}6$ км/ч, а следующие 3 ч — со скоростью $48{,}1$ км/ч. С какой средней скоростью он ехал?

1
Весь путь: $56{,}6 \cdot 2 + 48{,}1 \cdot 3 = 257{,}5$ км.
2
Всё время: $2 + 3 = 5$ ч.
3
Средняя скорость: $257{,}5 : 5 = 51{,}5$ км/ч.

🚌 Открой блок «Ловушка скорости» справа — там та же задача с ползунками: подвигай время и скорость на каждом участке.

⚠️ Частая ошибка. Многие пытаются найти среднюю скорость, просто складывая скорости на участках и деля пополам: $(56{,}6 + 48{,}1) : 2 = 52{,}35$ км/ч — и получают неверный ответ. Так можно делать только если объект двигался на каждом участке одинаковое время. Если время разное — как в этой задаче (2 ч и 3 ч) — обязательно считать через общее расстояние, делённое на общее время, а не через среднее арифметическое самих скоростей. (Похожая ловушка — только наоборот, для одинакового расстояния при разном времени — разбирается в упражнении про среднее гармоническое: там усреднять скорости напрямую тоже нельзя.)
🧠 Запомни: среднее арифметическое чисел $a_1, \dots, a_n$ — это $(a_1 + \dots + a_n) : n$. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время, а не среднее арифметическое самих скоростей, если время на участках разное.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике