6 класс · Рациональные числа

О системах счисления ⭐ доп. материал

⭐ Этот раздел — дополнительный материал, он не обязателен для всех, но будет интересен тем, кто хочет понять, как на самом деле «думает» компьютер, и разобраться, почему числа вообще можно записывать по-разному.

Что такое система счисления

Мы привыкли к десятичной системе записи чисел: 10 единиц одного разряда образуют 1 единицу следующего разряда (10 единиц = 1 десяток, 10 десятков = 1 сотня и т. д.). Число 10 здесь называют основанием системы.

Но 10 — не единственное возможное основание. Если объединять в группы не по 10, а по 2, 3, 5 или любому другому числу единиц, получится своя система счисления с этим числом в качестве основания: двоичная (основание 2), троичная (основание 3), пятеричная (основание 5) и так далее.

Определение. Позиционная система счисления с основанием $k$ — это способ записи чисел, в котором значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда): цифры представляют собой коэффициенты при степенях числа $k$ — $\ldots,\,k^3,\,k^2,\,k^1,\,k^0$. Для записи цифр в такой системе нужно ровно $k$ различных символов — от $0$ до $k-1$.

          💡 Из жизни: представь одометр в машине с десятью цифрами на колёсике —
          досчитав до 9, колёсико возвращается к 0 и толкает соседнее. Если бы на колёсике было
          не 10 цифр, а, например, только 2 (0 и 1), получился бы счётчик в двоичной системе — именно
          так «щёлкают» биты в памяти компьютера.
        

Как перевести число в другую систему

Возьмём число $145$ и запишем его в троичной системе (основание 3). Сначала выпишем степени тройки: $3^0=1,\ 3^1=3,\ 3^2=9,\ 3^3=27,\ 3^4=81,\ \ldots$ Раскладывая 145 по этим степеням, получаем:

$145 = 1\cdot 3^4 + 2\cdot 3^3 + 1\cdot 3^2 + 0\cdot 3^1 + 1\cdot 3^0$

Значит, $145_{10} = 12101_3$. Быстрее всего такое разложение получить не подбором степеней, а последовательным делением на основание:

Делим число на основание $k$ и запоминаем остаток — это цифра младшего разряда.

Полученное неполное частное снова делим на $k$ — получаем следующую цифру (справа налево).

Повторяем деление, пока частное не станет равным $0$.

Читаем все остатки снизу вверх (от последнего к первому) — это и есть запись числа в новой системе.

Обратный перевод — из другой системы в десятичную — делают наоборот: записывают число суммой разрядных слагаемых и вычисляют. Например, $2011_3 = 2\cdot 3^3 + 0\cdot 3^2 + 1\cdot 3^1 + 1\cdot 3^0 = 54+0+3+1=$ $58_{10}$.

🧠 Запомни: в системе с основанием $k$ используются цифры от $0$ до $k-1$ (остаток от деления всегда меньше делителя). В троичной — только $0,1,2$; в пятеричной — $0,1,2,3,4$; в восьмеричной — $0,1,\ldots,7$.

Двоичная система — язык компьютеров

Самая простая из всех систем — двоичная (основание 2): в ней всего две цифры, 0 и 1. Именно её используют в компьютерах, потому что электронной схеме проще различать всего два состояния («есть сигнал» / «нет сигнала»), чем десять. Таблицы сложения и умножения здесь предельно простые: $1+1=10$ и $1\cdot 1=1$ — больше и запоминать нечего.

Расплата за простоту — длина записи: например, $2000_{10} = 11111010000_2$ — одиннадцать цифр вместо четырёх.

Для сравнения — вот как непривычно выглядит натуральный ряд и таблица сложения в пятеричной системе (цифры 1–4):

+	1	2	3	4
1	2	3	4	10
2	3	4	10	11
3	4	10	11	12
4	10	11	12	13

⚠️ Частая ошибка. Число $12101_3$ нельзя прочитать как «двенадцать тысяч сто один» — это не десятичная запись! Каждая цифра здесь стоит рядом со степенью основания 3, а не 10. Чтобы узнать «настоящую» (десятичную) величину числа, нужно подставить цифры в разложение по степеням его собственного основания — как в примере с $2011_3=58_{10}$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике