6 класс · Рациональные числа

Раскрытие скобок

Знак «+» и «−» перед скобками

Понятие отрицательных чисел позволяет получить общее правило раскрытия скобок, которое упрощает вычисления и преобразования выражений. Сравним два похожих выражения — они отличаются только знаком перед скобками:

$$a + (b + c) = a + b + c \qquad a - (b + c) = a - b - c$$

Знак «+» перед скобками ничего не меняет внутри них, а знак «−» переворачивает знак каждого слагаемого в скобках на противоположный.

Правило раскрытия скобок.
Если перед скобками стоит знак «+», то при раскрытии скобок знаки слагаемых внутри сохраняются.
Если перед скобками стоит знак «−», то при раскрытии скобок знаки слагаемых внутри заменяются на противоположные.

Например: $3x + (-y + 5) = 3x - y + 5$, а $3x - (-y + 5) = 3x + y - 5$.

💡 Из жизни: представь, что в скобках — список твоих «плюсов» и «минусов» за день (сделал уроки «+», разбил чашку «−»). Знак «+» перед скобками — это когда ты просто добавляешь этот список к другому, ничего не меняя. А знак «−» — это когда ты вычитаешь весь список целиком: тогда каждый «плюс» из списка становится «минусом», а каждый «минус» — «плюсом», как будто весь день переворачивается наоборот.

Умножение на скобку — распределительное свойство

Похожая идея работает и при умножении числа на сумму — этому учит распределительное свойство умножения:

$$a(b + c) = ab + ac$$

По правилам умножения рациональных чисел, если множитель $a$ положительный, знаки слагаемых $b$ и $c$ не изменятся; а если $a$ отрицательный — изменятся на противоположные (точно так же, как со знаком «−» перед скобками). Например:

$5(-n + y) = -5n + 5y$  и  $-5(-n + y) = 5n - 5y$

Таким образом, при умножении суммы на число можно применять то же самое правило раскрытия скобок, что и для знаков «+»/«−»: положительный множитель — знаки сохраняются, отрицательный — знаки меняются на противоположные у всех слагаемых.

Разбор примера

Раскроем скобки и упростим выражение $-3(a - b) - 5(a + b)$:

1
Раскрываем первую скобку: множитель $-3$ отрицательный, значит знаки слагаемых меняются на противоположные: $-3(a-b) = -3a + 3b$.
2
Раскрываем вторую скобку: множитель $-5$ тоже отрицательный: $-5(a+b) = -5a - 5b$.
3
Записываем всё вместе одной алгебраической суммой: $-3a + 3b - 5a - 5b$.
4
Складываем отдельно коэффициенты при $a$ и отдельно при $b$: $(-3-5)a + (3-5)b = -8a - 2b$.
⚠️ Частая ошибка. При знаке «−» перед скобками меняют знак только у первого слагаемого, забывая про остальные. Например, в выражении $c - (b + c - a)$ неверно писать $c - b + c - a$ — минус перед скобками относится ко всем слагаемым внутри, поэтому верно: $c - (b + c - a) = c - b - c + a$.
🧠 Запомни: знак «+» (или положительный множитель) перед скобками — знаки слагаемых внутри сохраняются. Знак «−» (или отрицательный множитель) — знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике