6 класс · Рациональные числа

Решение уравнений

Равносильные преобразования

Решить уравнение — значит найти множество всех его корней. Самый простой способ решения состоит в том, что уравнение приводят к более простому или удобному виду. При этом важно, чтобы новое уравнение имело те же самые корни, что и исходное.

Определение. Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называют равносильными. Преобразование уравнения, не меняющее множества его корней, называют равносильным преобразованием.

При равносильных преобразованиях используют такие правила и свойства:

  1. правила нахождения неизвестных компонентов действий (слагаемого, множителя, делимого и т. д.);
  2. основное свойство пропорции («перекрёстное» правило);
  3. правило весов — обе части уравнения можно поменять местами, прибавить, вычесть, умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля;
  4. правила упрощения выражений — раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых.
💡 Из жизни: представь настоящие весы с двумя чашами в равновесии. Если добавить одинаковый груз на обе чаши, разделить груз обеих чаш пополам или домножить обе чаши на одно и то же число раз — весы останутся в равновесии. Уравнение работает точно так же: любое действие, сделанное одинаково с обеими частями, сохраняет равенство.

Приём переноса слагаемых

Идея переноса возникает, если сравнить действие «прибавить к обеим частям одно и то же слагаемое» с результатом. Пусть дано уравнение $-x + 10 = 3x$. Прибавим к обеим его частям слагаемое $(+x)$:

$-x + x + 10 = 3x + x \;\Leftrightarrow\; 10 = 3x + x$

Слагаемое $(-x)$ исчезло из левой части, но появилось в правой части с противоположным знаком $(+x)$. Значит, можно сказать, что мы перенесли слагаемое $(-x)$ из левой части в правую, изменив его знак. Так же можно переносить слагаемые из правой части в левую.

Правило переноса. Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя его знак на противоположный.

Приём «переноса» открыл в IX веке среднеазиатский учёный аль-Хорезми и назвал «аль-джебр» — «воссоединение». Именно от этого слова произошло название раздела математики — алгебра.

Пример 1. Решить уравнение $8x - 9 = -2x + 3$.

Соберём слагаемые с $x$ в левой части, а свободные члены — в правой части, изменив знаки при переносе:

1
Перенесём $-2x$ из правой части в левую, изменив знак на $+2x$: $\;8x + 2x - 9 = 3$.
2
Перенесём $-9$ из левой части в правую, изменив знак на $+9$: $\;8x + 2x = 3 + 9$.
3
Приведём подобные слагаемые в обеих частях: $\;10x = 12$.
4
Разделим обе части на коэффициент $10$: $\;x = 1{,}2$.
🧠 Так как на каждом шаге мы получали равносильные уравнения, число $1{,}2$ — корень исходного уравнения. Ответ: $\{1{,}2\}$.

Когда правил недостаточно: перебор и подбор

Не всякое уравнение сводится к известным равносильным преобразованиям. Например, уравнение $x^2 + 3x - 54 = 0$ (где $x \in \mathbb{N}$) после переноса свободного члена и вынесения общего множителя принимает вид $x(x+3) = 54$ — здесь нет единственного неизвестного компонента, который можно было бы найти по правилу.

Тогда на помощь приходят:

  • метод проб и ошибок — экспериментально подбирается корень, а затем доказывается, что других корней нет;
  • метод перебора — проверяются все возможные варианты (например, делители числа $54$).

Число $6$ — корень уравнения $x(x+3)=54$, так как $6 \cdot (6+3) = 54$ — верное равенство. Других натуральных корней нет: при увеличении множителя $x$ произведение $x(x+3)$ тоже растёт, а при уменьшении — убывает, поэтому подходящее значение единственно.

⚠️ Частая ошибка. При переносе слагаемого забывают поменять его знак: например, из $8x - 9 = -2x + 3$ вместо $8x + 2x = 3 + 9$ пишут $8x - 2x = 3 - 9$. Это неверно — перенос слагаемого в другую часть уравнения всегда меняет его знак на противоположный, а не переносится «как есть».
🧠 Запомни: для линейных уравнений подходят перенос слагаемых и правило весов (прибавить/умножить/разделить обе части на одно и то же число). Если уравнение не сводится к простому виду — используют метод проб и ошибок или метод перебора, но тогда отдельно нужно доказать, что других корней нет.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике