6 класс · Рациональные числа

Решение задач с помощью уравнений

Зачем решать задачи с помощью уравнений

Ситуации, описанные в задачах, часто создаются искусственно: явления и процессы окружающего мира не воспроизводятся буквально, а моделируются с сохранением существенных связей между величинами. Решая задачи, мы учимся строить математические модели реальных ситуаций. Самый распространённый вид такой модели — уравнение.

💡 Из жизни: представь, что нужно понять, сколько лет двум братьям, зная только их разницу в возрасте и то, что через несколько лет один станет вдвое старше другого. Перебирать варианты долго и ненадёжно — а если обозначить возраст буквой и записать условие уравнением, ответ находится однозначно и быстро.

Математическое моделирование состоит из трёх этапов, и решение задачи с помощью уравнения — тоже:

  1. составление уравнения — построение модели;
  2. решение уравнения — работа с моделью;
  3. ответ на вопрос задачи и его анализ — практический вывод из модели.

Решение самих уравнений мы уже разобрали в предыдущем пункте — здесь подробнее остановимся на составлении уравнения и на проверке ответа.

Алгоритм решения задач с помощью уравнений

Составление уравнения начинается с выбора неизвестных величин. Если неизвестная величина одна, её обозначают буквой $x$. Если неизвестных несколько — одну обозначают через $x$, а остальные выражают через неё же, стараясь получить как можно более простое уравнение.

Важно. Все величины в уравнении должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения. Если, например, скорость дана в км/ч, а время — в минутах, нужно сначала перевести одну из величин, иначе уравнение будет составлено неверно.

Общий алгоритм:

  1. внимательно прочитать условие и вопрос задачи;
  2. определить, какие величины известны, а какие — нет;
  3. проверить соответствие единиц измерения величин (при необходимости согласовать их);
  4. установить взаимосвязи между величинами (записать их в виде формул, схем, таблиц);
  5. одну из неизвестных величин обозначить буквой $x$;
  6. выразить через $x$ значения других неизвестных величин;
  7. определить множество значений переменной $x$;
  8. составить уравнение;
  9. решить уравнение;
  10. соотнести значение $x$ с вопросом задачи и проверить соответствие ответа реальности.

Решая задачу с помощью уравнения, важно помнить: не всегда корень уравнения — это и есть искомая величина. Иногда с корнем нужно выполнить ещё одно действие, чтобы получить ответ на вопрос задачи.

Пример: огурцы в двух бочках

Задача. В первой бочке было в 2 раза меньше огурцов, чем во второй. После того как из первой бочки взяли 500 г огурцов, а из второй — 6 кг, во второй бочке осталось на 60% огурцов больше, чем в первой. Сколько огурцов было во второй бочке первоначально?

Разберём решение по шагам — они синхронизированы со схемой справа.

1
Масса огурцов дана в разных единицах измерения — переведём граммы в килограммы: $500$ г $= 0{,}5$ кг.
2
Найти нужно массу во второй бочке, но за $x$ удобнее взять массу в первой бочке — она меньше, и в уравнении не появятся дроби. Тогда во второй было $2x$ кг. Заполним таблицу «Было / Стало».
3
Масса, оставшаяся во второй бочке, — это $160\%$ ($100\% + 60\%$) от массы, оставшейся в первой. Составляем уравнение: $\;2x - 6 = 1{,}6(x - 0{,}5)$.
4
Раскрываем скобки и решаем уравнение: $2x - 6 = 1{,}6x - 0{,}8 \;\Leftrightarrow\; 0{,}4x = 5{,}2 \;\Leftrightarrow\; x = 13$.
5
Корень $x = 13$ — это масса в первой бочке, а спрашивали про вторую: $13 \cdot 2 = 26$ (кг). Число разумное — проверка реальности пройдена. Ответ: во второй бочке было $26$ кг огурцов.
⚠️ Частая ошибка. Забывают согласовать единицы измерения перед составлением уравнения — например, складывают $500$ г и $6$ кг напрямую. Уравнение, составленное без перевода в одну единицу, будет неверным с самого первого шага, даже если дальше оно решено правильно.

Обоснование уравнения — обязательная часть решения

В записи решения задачи важно не просто написать уравнение, а обосновать его — объяснить, откуда оно взялось. Обоснование включает три вещи:

  • какая неизвестная величина принята за $x$;
  • как через $x$ выражаются другие неизвестные величины;
  • какое условие задачи легло в основу равенства.

Построение уравнения — ключевой этап решения задач методом моделирования. Для него нужны знание формул зависимостей между величинами, умение перевести на математический язык обороты «больше на…», «меньше в…», а также опыт, фантазия и смекалка.

🧠 Запомни: три этапа решения задачи через уравнение — составить уравнение (обозначить $x$, выразить остальные величины, согласовать единицы измерения), решить уравнение, и соотнести найденный корень с вопросом задачи, проверив ответ на соответствие реальности. Если с первого раза не получается составить уравнение — пробуй ещё: другого пути, кроме практики, здесь нет.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике