Понятие логического следования

Предложения со словом «следовать»

В русском языке очень часто встречаются предложения с союзом «если..., то...». Например: «Если где-то идёт дождь, то земля в этом месте мокрая». Такое предложение всегда можно заменить предложением с глаголом «следовать»: «Из того, что идёт дождь, следует, что земля мокрая». Звучит непривычно, но именно такая формулировка удобна для перевода на язык математики.

То же самое верно и для математических высказываний. Возьмём предложение: «Если натуральное число оканчивается цифрой 5, то оно делится на 5». Смысл тот же, что и у предложения: «Из того, что натуральное число оканчивается цифрой 5, следует, что оно делится на 5». Оба предложения говорят об одном и том же общем факте.

          💡 Из жизни: «Если экзамен сдан на пятёрку, то стипендия
          начисляется» — то же самое, что «Из того, что экзамен сдан на пятёрку, следует
          начисление стипендии». Форма разная, а смысл — один.
        

Знак следования ⇒

Определение. Запись вида $P \Rightarrow Q$ называют логическим следованием. Знак ⇒ — это знак следования. Предложение $P$ называют условием, а предложение $Q$ — заключением, или следствием, предложения $P$.

Запись $P \Rightarrow Q$ можно прочитать тремя разными способами — все они означают одно и то же:

«Если $P$, то $Q$»;
«Из $P$ следует $Q$»;
«$Q$ есть следствие $P$» (иногда говорят «вытекает» — знак ⇒ как раз показывает «направление течения»: из $P$ «вытекает» $Q$).

Справа — четыре предложения, переведённые на язык знака ⇒. Переключай вкладки и смотри, как условие и заключение соединяются стрелкой.

Пример: переводим предложение на язык знака ⇒

Возьмём предложение «Если натуральное число делится на 9, то оно делится на 3» и переведём его на математический язык по шагам.

1

Найди условие — то, что стоит после слова «если»: «число делится на 9». Введём переменную $n$: получаем $n$ делится на 9.

2

Найди заключение — то, что стоит после слова «то»: «оно делится на 3», то есть $n$ делится на 3. Букву берём ту же самую — речь идёт об одном и том же числе.

3

Соедини условие и заключение знаком следования: $n$ делится на 9 $\Rightarrow$ $n$ делится на 3.

4

Не забудь указать, каким числам может быть равно $n$ — в конце добавляют $(n \in N)$, если речь идёт только о натуральных числах.

Порядок условия и заключения важен

Сравни два предложения — переставлять условие и заключение местами нельзя, получаются разные по смыслу высказывания:

№	Если..., то...	Знак ⇒
1а	Если натуральное число делится на 9, то оно делится на 3.	$n$ делится на 9 $\Rightarrow$ $n$ делится на 3
1б	Если натуральное число делится на 3, то оно делится на 9.	$n$ делится на 3 $\Rightarrow$ $n$ делится на 9

⚠️ Частая ошибка. Думать, что раз верно «$P \Rightarrow Q$», то автоматически верно и обратное «$Q \Rightarrow P$». Это не так! Предложение 1а истинно: любое число, делящееся на 9, делится и на 3 (например, 18, 27, 45). А предложение 1б — ложно: число 6 делится на 3, но не делится на 9. Условие и заключение нельзя менять местами без проверки.

🧠 Запомни: предложение с союзом «если..., то...» можно записать через знак следования $P \Rightarrow Q$, где $P$ — условие, $Q$ — заключение. Читают так: «если $P$, то $Q$», «из $P$ следует $Q$», «$Q$ есть следствие $P$». Условие и заключение переставлять местами нельзя — от этого меняется смысл (а иногда истинное высказывание становится ложным).