6 класс · Рациональные числа

Графики зависимостей величин

Как задают зависимость между величинами

Зависимости между величинами можно выразить тремя способами: формулой, таблицей и графиком. Мы уже строили зависимости общего вида — прямую пропорциональность $y = kx$ и обратную пропорциональность $y = k/x$. Введение системы координат, в которой числа могут быть и отрицательными, позволяет строить график любой зависимости — например, изменения температуры воздуха в течение суток, когда значения бывают и ниже нуля.

          💡 Из жизни: в России температуру измеряют по шкале Цельсия
          (°C), а в США и Англии — по шкале Фаренгейта (°F). Перевести одну в другую можно
          по формуле:
        

$$y = \tfrac{5}{9}(x - 32)$$

где $x$ — температура по Фаренгейту, а $y$ — соответствующая ей температура по Цельсию. Например, если $x = 37$, то $y = \tfrac{5}{9}(37-32) = \tfrac{5}{9}\cdot 5 \approx 2{,}8$ — совсем не жарко, хотя число $37$ кажется знакомым по человеческой температуре тела в градусах Цельсия.

Понятие функции

Определение. Зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$, называют функциональной зависимостью, или функцией.

Не любой график на координатной плоскости задаёт функцию. Чтобы проверить это, удобно использовать простой приём: проведи вертикальную прямую через любую точку оси $x$.

Если она пересекает график ровно один раз — каждому $x$ соответствует одно значение $y$, зависимость функциональна;
если в какой-то точке она пересекает график дважды или больше — одному значению $x$ отвечают сразу несколько $y$, это не функция.

Пример: проверяем график

Справа — два графика: парабола (её мы будем строить в старших классах, а здесь просто рассматриваем как кривую) и окружность. Потяни за ползунок — вертикальная прямая сдвинется, а справа появится, сколько раз она пересекает выбранную кривую.

Выбери значение $x$ и проведи через него вертикальную прямую — она перпендикулярна оси $Ox$.

Посчитай, сколько раз эта прямая пересекает график зависимости.

Если пересечение одно при любом $x$ — перед нами функция. Если хотя бы для одного $x$ пересечений два и больше — это не функция.

⚠️ Частая ошибка. Думать, что любая линия на координатной плоскости — это функция. Например, окружность функцией не является: возьми любую внутреннюю точку по оси $x$ (кроме крайних) — вертикальная прямая через неё пересечёт окружность сразу в двух точках, то есть одному значению $x$ соответствуют сразу два значения $y$ — верхнее и нижнее. А вот параболу вертикальная прямая пересекает всегда только один раз — это функция.

🧠 Запомни: зависимости между величинами задают формулой, таблицей или графиком. Зависимость $y$ от $x$ называют функцией, если каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$. Проверить это по графику можно вертикальной прямой: одно пересечение — функция, два и больше пересечений хотя бы в одной точке — не функция.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике