5 класс · Математический язык

Общие утверждения

Что такое общее утверждение

Особое значение для математики имеют общие утверждения. Так называют высказывания, в которых утверждается, что все элементы заданного множества обладают указанным свойством. Общий характер высказывания выражают слова любой, каждый, все, всегда и подобные им. Например:

  • В каждой неделе 7 дней.
  • Результат умножения любого числа на 0 равен нулю.
  • Сумма любых двух чисел не зависит от порядка слагаемых.
  • Сумма двух натуральных чисел всегда делится на 3.
  • Произведение любых двух натуральных чисел больше их суммы.

Очень часто обобщающие слова опускают, и те же утверждения произносят короче: «В неделе 7 дней», «Сумма двух чисел не зависит от порядка слагаемых» и т. д. — от этого смысл не меняется, общее утверждение остаётся общим.

Определение. Общее утверждение — высказывание о том, что все элементы некоторого множества обладают указанным свойством. Как и всякое высказывание, оно может быть истинным или ложным.

Контрпример — как опровергнуть общее утверждение

Среди утверждений выше первые четыре истинны, а последние два — ложны. Проверим: сумма двух натуральных чисел не всегда делится на 3 — например, $1+3=4$, а 4 на 3 не делится. Этот пример показывает, что общее утверждение ложно, то есть он его опровергает.

Определение. Пример, опровергающий общее утверждение, называют контрпримером. Приставка «контр» («против») подчёркивает, что речь идёт именно об опровержении.

Найти контрпример для утверждения «произведение любых двух натуральных чисел больше их суммы» немного сложнее: надо либо вспомнить, что $2\cdot2=2+2$, либо догадаться взять одно или оба числа равными единице — $2\cdot1<2+1$, а $1\cdot1<1+1$.

💡 Из жизни: Для опровержения утверждения «Все кошки чёрные» достаточно показать одну белую, рыжую или полосатую кошку — любой окраски, кроме чёрной. Один-единственный контрпример разрушает общее утверждение целиком, даже если оно верно для тысяч других случаев.
⚠️ Частая ошибка: ученики думают, что если найдено много примеров, для которых утверждение верно, — значит, оно доказано. Это не так! Встречая среди пограничников только мужчин, нельзя сделать вывод, что все пограничники — мужчины: в аэропорту Шереметьево-2 работают и пограничники-женщины. Точно так же для доказательства утверждения о сумме углов треугольника недостаточно измерить углы даже миллиона треугольников. Большое число примеров не доказывает общее утверждение — а вот один контрпример его опровергает.

Часть от числа и число по его части

Рядом с общими утверждениями рассмотрим и задачи на дроби — нахождение части от числа и обратная ей задача: нахождение числа по его известной части.

Правило. Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, надо это число разделить на знаменатель дроби и результат умножить на числитель. Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, надо эту часть разделить на числитель дроби и результат умножить на знаменатель.

Разбери на интерактивной модели справа, как эти два правила связаны с одной и той же полоской, разбитой на равные части.

🧠 Запомни:
  • Общее утверждение — высказывание о всех элементах множества («любой», «каждый», «все», «всегда»).
  • Общее утверждение может быть истинным или ложным.
  • Контрпример — пример, который опровергает общее утверждение.
  • Одного контрпримера достаточно для опровержения; для доказательства истинности примеров, сколько бы их ни было, недостаточно.
  • Часть от числа = число ÷ знаменатель × числитель. Число по его части = часть ÷ числитель × знаменатель.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике