5 класс · Математический язык

«Хотя бы один»

Утверждения о существовании

Кроме общих утверждений («все», «каждый», «любой»), в математике часто встречается другой важный тип высказываний — утверждение о том, что в заданном множестве существует хотя бы один элемент, обладающий определённым свойством. Например:

  • Можно найти такое натуральное число $k$, что $57 = 3k$.
  • Существует такое натуральное число $x$, что $(2x+3):7=11$.
  • Некоторые люди имеют рост больше 2 м 20 см.
  • Произведение двух натуральных чисел может быть больше их суммы.
  • Сумма двух натуральных чисел не всегда делится на 3.
  • Грибы не всегда съедобны.
Определение. Утверждения типа «хотя бы один» называют также утверждениями о существовании: в них говорится, что в заданном множестве существует хотя бы один элемент, обладающий указанным свойством. Слова-подсказки: «можно найти», «существует», «некоторые», «иногда», «не всегда», «может быть».

Как доказать: достаточно одного примера!

В противоположность утверждению типа «все» — где для доказательства нужно проверить каждый элемент множества — истинность утверждения типа «хотя бы один» с помощью примера доказать можно. Один-единственный подходящий пример — и утверждение доказано.

Так, в первом примере достаточно взять $k=19$ — ведь $57=3\cdot19$, а во втором примере можно убедиться, что указанным свойством обладает $x=37$. В третьем примере надо найти хотя бы одного человека ростом выше 2 м 20 см, а в последнем — хотя бы один несъедобный гриб.

💡 Из жизни: Чтобы доказать, что «в этом классе есть хотя бы один отличник», достаточно назвать одного конкретного ученика с одними пятёрками. Не нужно проверять весь класс — один подходящий пример полностью доказывает утверждение.
🧠 Заметь разницу: для утверждения «все» один пример ничего не доказывает (нужна проверка всех случаев или общее рассуждение), а один контрпример его опровергает. Для утверждения «хотя бы один» — всё наоборот: один подходящий пример его доказывает.

Попробуй на интерактивной модели справа сам подобрать число, доказывающее одно из утверждений о существовании.

Частая ошибка — «неполный» пример

⚠️ Частая ошибка: при доказательстве утверждения о существовании пример должен обладать всеми перечисленными свойствами сразу, а не только некоторыми из них. Например, для утверждения «существуют чётные числа, кратные 3» неверно приводить в пример число 26: оно действительно чётное, но не кратно 3 ($26:3$ не является целым числом) — значит, пример не доказывает утверждение. Нужно число, удовлетворяющее обоим условиям сразу, например 6 или 12.

Сравнение дробей

Рядом с утверждениями о существовании пригодятся правила сравнения дробей — они часто нужны, чтобы подобрать нужный пример или проверить истинность высказывания о дробях.

Правило. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель (ведь целое делится на меньшее число более крупных частей).

Например, $\tfrac{9}{17} > \tfrac{3}{17}$ (числитель больше при том же знаменателе), а $\tfrac{4}{19} > \tfrac{4}{43}$ (тот же числитель, но знаменатель меньше — значит, каждая часть крупнее). Разбери оба случая на интерактивной модели справа.

🧠 Запомни:
  • Утверждение о существовании («хотя бы один», «некоторые», «можно найти») говорит, что в множестве есть хотя бы один элемент с указанным свойством.
  • Чтобы доказать такое утверждение, достаточно привести один подходящий пример.
  • Пример обязан обладать всеми требуемыми свойствами сразу, а не частью из них.
  • Дроби с одинаковым знаменателем: больше та, у которой больше числитель.
  • Дроби с одинаковым числителем: больше та, у которой меньше знаменатель.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике