6 класс · Рациональные числа

Прямоугольные координаты на плоскости

Зачем нужны координаты на плоскости

В повседневной жизни можно услышать фразу «оставьте мне свои координаты» — это значит, что человек должен назвать данные, по которым его можно найти: адрес или номер телефона.

💡 Из жизни: координаты — это набор данных, определяющий положение объекта. Широта и долгота на географической карте, номер вагона и места в поезде, номер ряда и места в кинотеатре — всё это координаты, только устроенные по-разному.

С координатами мы уже встречались: числом определяли положение точки на координатной прямой, а парой чисел — положение точки координатного угла. Введение отрицательных чисел позволяет сделать следующий шаг: определить положение любой точки плоскости. Для этого достаточно продолжить стороны координатного угла до целых прямых.

Система координат на плоскости

Определение. Система координат на плоскости задаётся парой перпендикулярных координатных прямых с общим началом отсчёта. Эту точку называют началом координат и обозначают буквой O. Одну прямую называют осью абсцисс (осью $x$, или $Ox$), другую — осью ординат (осью $y$, или $Oy$). Ось абсцисс располагают горизонтально, ось ординат — вертикально; положительное направление показывают стрелкой.

Плоскость с заданной на ней системой координат называют координатной плоскостью. Оси разбивают её на четыре области — координатные четверти. Их нумеруют римскими цифрами против часовой стрелки, начиная с той, где обе координаты положительны.

Чтобы найти координаты точки $M$, нужно провести через неё прямые, перпендикулярные осям. Координату точки на оси $Ox$ называют абсциссой, а координату на оси $Oy$ — ординатой. Абсциссу и ординату вместе называют координатами точки и записывают в скобках через точку с запятой, абсцисса — всегда первая: $M(x;\,y)$.

Пример: построение точки по координатам

Задача. Построй на координатной плоскости точку $M$ с абсциссой $3$ и ординатой $4$, то есть $M(3;\,4)$.

Разберём построение по шагам — они синхронизированы с точкой справа (перетащи её и посмотри, как это работает для любых координат).

1
На оси $Ox$ отмечаем число $3$ — это абсцисса точки $M$. Через эту отметку проводим прямую, перпендикулярную оси $Ox$.
2
На оси $Oy$ отмечаем число $4$ — это ордината точки $M$. Через эту отметку проводим прямую, перпендикулярную оси $Oy$.
3
Точка пересечения этих двух перпендикуляров и есть искомая точка $M(3;\,4)$.

Есть и второй способ: сместиться от начала координат по оси $x$ на $3$ единицы вправо, а затем — параллельно оси $y$ — на $4$ единицы вверх. Результат тот же.

Знаки координат в четвертях

Если точка $M$ имеет абсциссу $x$ и ординату $y$, знаки этих чисел зависят от того, в какой четверти лежит точка:

  • I четверть: $x > 0$, $y > 0$;
  • II четверть: $x < 0$, $y > 0$;
  • III четверть: $x < 0$, $y < 0$;
  • IV четверть: $x > 0$, $y < 0$.

Если точка лежит на оси $Ox$, её ордината равна нулю — координаты имеют вид $(x;\,0)$. Если точка лежит на оси $Oy$, нулю равна абсцисса — координаты имеют вид $(0;\,y)$. У самого начала координат обе координаты равны нулю: $O(0;\,0)$.

⚠️ Частая ошибка. Путают порядок записи координат — абсцисса всегда пишется первой, ордината второй. Точки $A(-3;\,2)$ и $B(2;\,-3)$ — это разные точки, хотя в записи участвуют одни и те же числа $-3$ и $2$: изменение порядка координат меняет положение точки на плоскости.
🧠 Запомни: координатная плоскость задаётся двумя перпендикулярными осями с общим началом $O$ — осью абсцисс $Ox$ и осью ординат $Oy$. Координаты точки $M(x;\,y)$ находят перпендикулярами к осям: $x$ — абсцисса (по горизонтали), $y$ — ордината (по вертикали). Порядок координат важен. Четыре четверти нумеруются против часовой стрелки, начиная с той, где $x>0$ и $y>0$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике